知识导学

指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛．它是在学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数．为了学习指数函数我们将初中学过的指数概念进行了扩展，初中代数学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质．在此基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质．

一、指数

1.整数指数幂的概念

aⁿ＝aaaa…a

　　　n个

2.运算性质

3.根式

一般地，若，则x叫做a的n次方根．叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．

注意：

①可看作∴＝＝

②可看作∴＝＝_．事实上，，若设a>0，_，则_．

由n次根式定义，次方根，即：_．同样规定：_，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

特别需要注意的是：强调底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会引起混乱，例如，和应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：＝-1；＝1． 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义．

在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在上面所举的例子中，(a>0)，若无a>0这个条件时，；同时，负数开奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，．

以后当看到指数是分数时，如果没有特别的说明，底数都表示正数．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂可以得到：

   

二、指数函数

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

    证明：由已知得
　　

⑴÷⑵，得

∴，即

    解：由，又1<a<b，∴，从而得，

∴原式＝＝＝.

    解：设，由公式得(1+)+(1-)+3x＝x³，即x³+x-2＝0，

分解因式得：，

∵，∴，即x＝1，∴原式＝1.

    解：设_, 则
　　_.

    ∵       ∴

    当时， 这时

    即   ∴，函数单调递增

    当时， 这时

    即   ∴，函数单调递减

    ∴函数y在上单调递增，在上单调递减．

参考答案：

一、1.B　　2.B　　3.C　　4.B　　5.D

二、1.(1)2　(2)2　(3)2　(4)2　　　2.　　3.(1)3　(2)　(3)x　(4)

三、1.(1)　(2)18　　2.8　　3.-24.x²+x+1