知识导学

　　从美学的角度讲，平行的横线给人们以安静感，垂直的直线给人们庄重端正感，斜线给人们以不稳定感，兼有前进的活动感，曲线让人们产生运动感，圆形给人们美的感觉……直线与圆的应用最广，从小小的圆镜到雄伟高大的建筑，举目一望处处皆有，数之不尽．椭圆的应用如汽车油罐横截面的轮廓，天体中一些行星和卫星运行的轨道．从椭圆的一个焦点发出的光线和声波经过椭圆反射后都集中到另一个焦点上，因此椭圆及由椭圆绕轴旋转所成的曲面，在有关光线和声学的设计中有着广泛的应用．自然通风塔的双曲线型通风筒是由双曲线绕轴旋转成的壳体（它具有接触面大，风的对流好，冷却快和节省建筑材料等优点）．又如火力发电厂的双曲型冷却塔的外壳也是由双曲线绕轴旋转所成的曲面．双曲线运用的实例还很多，如一些奖杯、花瓶的某些部位横截面的轮廓等．抛物线在现实生活中也有广泛应用，如抛物镜面能把放在焦点处的光源发出的光线反射成平行光束，利用这个性质，可以制作探照灯和汽车前车灯．反过来，抛物镜面也能把平行光线集中于焦点，利用这个性质，可以制作太阳灶等．

汽车油罐横截面的轮廓是一个椭圆
太阳灶的聚光原理

圆锥曲线的知识我们在前面已经有了详细的介绍，这里不在赘述．下面就它们的综合应用进行说明：

1．圆锥曲线的统一定义

     在平面上，若动点M与一个定点F和一条定直线L的距离之比是一个常数e，那么，当e>1时，点M的轨迹是双曲线；当e=1时，点M的轨迹是抛物线；当0<e<1时，点M的轨迹是双曲线．

2．与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：

（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．

3．圆锥曲线中最值的两种求法：

（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．

4．求曲线轨迹方程的常用方法

（1）直接法：根据求曲线方程的四个步骤，设点，列式，代入，化简．

（2）定义法：若动点的轨迹符合某种曲线的定义，则只需判断出曲线的类型，根据条件写出曲线的方程即可．

（3）转移代入法：若动点P(x,y)受另一动点P0(x0,y0)所制约，而P0(x0,y0)的轨迹方程是已知的或可求出，则只需列出P(x,y)与P0(x0,y0)坐标间的关系式，转移代入即可得出P(x,y)的轨迹方程．

（4）参数法：若动点M(x,y)的坐标x与y间的关系不易发现，可引入第三个变量t(参数)，列出x,y与t间的关系式，即然后消去参数t，则可得动点M(x,y)的轨迹方程．但要注意消去参数t的前后，必须等价．

典型例题

例1．过抛物线的焦点，作相互垂直的两条焦点弦和，求的最小值．

例2．已知椭圆的焦点、，且与直线有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．

例3．直线与双曲线的左支交于两点，直线经过点及中点，求直线在轴上截距的取值范围．

习题精选

1．以双曲线的虚轴长为公比，实半轴长为首项的无穷等比数列的和是（  ）

   A．   B．   C．     D．

2．点是曲线：与：的一个交点，点A与曲线两焦点距离的和为，点与曲线两焦点距离之差的绝对值为，则的值为（  ）

A．0     B．    C．1    D．10

3．设、为双曲线的左右焦点，为该双曲线在上半平面部分的一点，且，则点的坐标为（  ）

A．    B．      C．      D．

4．若，则方程所表示的曲线一定不是（  ）

A．直线    B．圆    C．抛物线      D．双曲线

5．以为渐近线的双曲线方程一定是（  ）

A．  B．   C．    D．

6．若椭圆的左焦点到右准线的距离为，椭圆的长半袖、短半轴、半焦距分别为则有（  ）

A．   B．   C．    D．

7．过点的直线与双曲线只有一个公共点的直线条数是（   ）

A．1条    B．2条    C．3条     D．4条

8．中，为动点，为定点，，，且满足，则的轨迹方程是（  ）

A．；       B．

C．的左支； D．的右支

9．已知为抛物线上的动点，点的坐标为，点在直线上，且点分的比为2，则点的轨迹方程为（  ）

A．                   B．

C．                    D．

10．椭圆两焦点为、，在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆方程是（  ）

A．    B．    C．    D．

    11．设椭圆的长轴端点分别是，如果椭圆上存在一点，使，求椭圆的离心率的取值范围．

    12．双曲线的右顶点为，轴上有一点，若上存在一点，使，求此双曲线离心率的取值范围．

    13．是抛物线上两个动点，为坐标原点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线过一个定点，并求此定点．

14．已知双曲线的两焦点为，又点在双曲线上，使,,成等比数列，且，求该双曲线方程．