知识导学

有一天，两兄弟从饭馆吃完饭回家．两人比赛谁先到家，哥哥一半的路程走，另一半的路程跑；而弟弟一半的时间走，一半的时间跑，如果两兄弟走路与跑的速度分别一样，哥哥和弟弟哪个先回到家？

这个问题实质上包含着重要不等式的性质．要判断哪个先回到家可转化为谁用的时间少，因为很明显谁用的时间少谁就先到家．那么从问题给出的条件考虑，应该如何建构哥哥、弟弟两人回到家的时间?

   我们可以假设从饭馆到家的距离是2a米，甲、乙两人走与跑的速度分别为（当然走的速度肯定比跑的速度慢了，所以）．那么哥哥用的时间就是，弟弟用的时间好象不太好算，是不是？我们可以认为在理想状态下弟弟走这短路程的平均速度是，那么弟弟用的时间就是．现在的问题就是比较和的大小问题了．那么它们谁大谁小呢？

答案是>，也就是哥哥用的时间长，当然弟弟先到家了，为什么？要证明上面的式子只须证明，也就是成立，那么它成立吗？很显然是成立的，因为是成立的．这说明我们的答案是正确的．那么在上面的例子中最关键的是哪个式子呢？对，，也就是．我们现在就来研究这个式子．

去掉的实际问题意义，有可能吗？当然有，就是的情况，不妨用分别替换．从性质出发思考，还能有哪些新的发现？通过对它的变形，我们能够得到如下的一些式子：（当且仅当a=b的时候等号成立），，等等，我们重点看，式子中的某些部分是不是在哪见过？对，是a、b的等差中项，是a、b的等比中项．现在我们把叫做的算术平均数，把叫做的几何平均数．对于式子用文字表达就是：如果是正数，那么．也可以说成：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．我们叫它平均值定理．定理证明比较简单，其实前面的例子已有所体现，我们不在赘述（不熟悉的同学可以参看课本中的证明）．

就这个定理我们需要注意：

1、 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数．

　　2、这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘='号”这句话的含义要搞清楚．

　　当 时取等号，其含义就是：．

　　仅当 时取等号，其含义就是：．

　　综合起来，其含义就是： 是 的充要条件．

实际应用定理解决最值问题和证明不等式时要注意：

1、应用定理求最值的条件．

　　应用定理时注意以下几个条件：

　　（1）两个变量必须是正变量；

　　（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；

　　（3）当且仅当两个数相等时取最值．

　　即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．

2、关于用定理证明不等式．

　　当用公式 ， 证明不等式时，我们应该知道它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法证出的．因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明．

3、应用定理解决实际问题的分析．

　　在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：

　　（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

　　（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

　　（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

　　（4）正确写出答案．

    平均值定理可以证明不等式及求一些函数的最值，还能够解决一些简单的实际问题，通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系，通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，可以培养我们严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观．

　　解：∵，  ∴，  ∴，

　　∴=，

   　当且仅当即时．

　　分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．

　　解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得：

　　

　　

　　当．

　　因此，当水池的底面是边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是元．

　　解：（1）由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为，

　　所以，函数及其定义域为，；

　　（2）由题知都为正数，故有，

　　当且仅当，即时上式等号成立；

　　若，则当时，全程运输成本最小；

　　若，当时，

　　有，

　　∵，  ∴，

　　∴，当且仅当时上式等号成立，即当时，全程运输成本最小．

　　综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为．

　　参考答案：

    1．B      2．B     3．A       4．D  5．C      6．

    7．　　8．　　　9．