知识导学

解不等式是不等式部分的重点内容，也是解决许多数学问题的工具，其基本类型共八类，即一元一次不等式，一元二次不等式，一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，含绝对值的不等式，指数不等式和对数不等式．

1．一元一次不等式的解法比较简单，不在赘述．

2．一元二次不等式的解法，任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为二次项系数大于0的形式，再根据“大于0取两边，小于0取中间”求解集．其中，解的区间端点就是对应的一元二次方程的解．

3．一元高次不等式的解法，先将最高次项的系数化为正数，再分解为若干个一次因式的积，把每个因式的根标在数轴上，用数轴标根法（或称穿根法、区间法）即可解得．要注意的是：如果因式的次数高于2次，就按“逢偶次拐弯，逢奇次不变”的原则进行“穿针引线”．

4．分式不等式的解法，先把不等式转化为同解的整式不等式，次数为2次，参照上面第二条；次数高于2次，参照上面第3条．注意解集区间的端点，必须使分式有意义．

5．指数不等式与对数不等式的解法，就是利用指数函数和对数函数的单调性，把原不等式转化为指数之间、真数之间的不等关系．转化时要注意：底数是在（0，1），还是在（1，＋∞）；对数的真数要大于0．

6．绝对值不等式的解法，主要思路就是去掉绝对值符号，通过同解变形，等价转化为不含绝对值的不等式．特别是有两个或两个以上绝对值符号，且形式是和或差的不等式，可先找出每个零点（绝对值内等于0的未知数的值），根据零点分区间，讨论每个绝对值符号内式子的符号，去掉绝对值符号，即可求解．注意区间端点不要遗漏．

另外，有的不等式还可以直接利用数形结合求解，还有的不等式用导数求解也很方便和简捷．

对于含有参数的不等式，要进行分类讨论，这时要注意参数的总取值范围，分类时用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏．

解不等式的基本思路可以和解方程作类比，但由于不等式的解集一般都是无限集，检验增根无法进行，因此，解不等式时，对不等式作出的变形必须要求是等价变形（同解变形），从而体会等价变换的思想并予以正确运用就是解不等式中第一位重要的课题，并且这里等价变换的目标是超越不等式（指数、对数不等式）代数化，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式低次化，最后都归结为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）的求解．其基本模式是：

当时，

或

；

解不等式中，除了要抓住等价变形这条主线外，还要有换元，分类讨论，数形结合等思想方法的配合，还要注意含字母系数的有关不等式的求解．

典型例题

例1．解不等式｜x²－5x+5｜＜1

变式训练：解不等式｜x²－3x－4｜＜x+1

例2．已知关于x的不等式ax²＋bx＋c＜0的解集是｛x｜x＜－2或x＞－1/2｝，求ax²－bx＋c＞0的解集．

例3．解不等式

点拨：解指数不等式、对数不等式的基本思路是将其等价地转化为代数不等式，转化的方法有:①把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式，然后利用指数函数、对数函数的单调性，把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的底数大于零且不等于1、真数大于零这些隐含条件；②利用换元法，即将不等式中某一个简单的指数式或对数式设为t，把原不等式转化为关于t的代数不等式，然后通过解出关于t的代数不等式来求出原不等式的解集．

习题精选

1.不等式的解集是（　　）