知识导学

直线方程既是初中二元一次方程知识的延续（数与形相互转化），又与一次函数的知识相吻合，并且通过集合与对应的数学思想，构建了平面上的直线与的一次方程的一一对应关系．它与圆的方程同属解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用．用图表示如下：

从本章内容看，直线方程是建立在“直线的倾斜角和斜率”的知识上，但直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程的基础，为进一步学习“曲线与方程”作铺垫，故直线的方程是本章的重点内容之一．

另外，通过本节的学习，不仅有利于培养我们分析、讨论问题能力，而且有利于强化渗透集合与对应、数形结合的数学思想方法，初步掌握解析几何的基本思想．

本小节所介绍的直线方程的几种形式中，点斜式、斜截式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，在求直线方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的截距式是由点斜式导出．

直线方程的几种形式：

（1）点斜式：，并不是所有的直线都能用点斜式表示．倾斜角的直线可用点斜式．对于任意一条直线的方程应设为或．

（2）斜截式：，它是点斜式的特殊形式．此时直线过点，斜率为k．同样，也并不是所有的直线都能用斜截式表示．倾斜角的直线k，b同时存在，可用斜截式表示．（k不存在，则b一定不存在；b不存在，则k一定不存在）对于任意一条直线l的方程应设为或．由此可见一次函数中k，b的几何意义．

（3）两点式：，它不能表示倾斜角及的直线．对于任意一条直线l的方程应设为或或．如果把两点式进行一下同解变形为就可以表示为任意的直线了．

（4）截距式：，它是两点式的特殊形式，其中的两点为和．它不能表示a，b不存在或为零的直线，即表示不了倾斜角及和过原点的直线．对于a、b来说，可能有一者不存在但不可能都不存在．对于任意一条直线l的方程应设为或或或．

（5）一般式：，其中A、B不能同时为零．它可以表示任意一条直线．在平面直角坐标系下，，等方程可是关于x、y的二元一次方程．对于来说x为a，.对于来说y为b，．所有的关于x、y的二元一次方程都是关于某条直线的方程；所有的直线方程都是关于x、y的二元一次方程．

解：倾斜角的范围是[0°，180°)，因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即0°≤α＜135°时，l₁的倾斜角才是α＋45°．而0°≤α＜180°，所以必须讨论135°≤α＜180°的情况，结合图形和倾斜角的概念，即可得到135°≤α＜180°时l₁的倾斜角为α－135°．故答案为D．

解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，由两点式得BC的方程：＝，即x＋2y－4＝0．

(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2．BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0

(3)BC的斜率k₁＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k₂＝2，由斜截式得直线DE的方程为y＝2x＋2．

点拨：直线方程有多种形式，一般情况下，利用任何一种形式都可求出直线方程(不满足条件的除外)．但是如果选择恰当，解答会更加迅速，本题中的三个小题，分别依条件选择了三种不同形式的直线方程，应该掌握．

解：(1)设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，从而方程为8x－15y＋6＝0．

(2)设直线方程为＝1，a＞0，b＞0，代入P(3，2)，得＝1≥2，得ab≥24，从而S_△AOB＝ab≥12，此时，∴k＝－＝－，

所以方程为2x＋3y－12＝0．

解法一：由题意，所求直线过原点且斜率存在，

设此直线的方程为y＝kx，分别与l₁、l₂的方程联立，

求得与l₁的交点坐标为()，

与l₂的交点坐标为()

令＝0，解得k＝－

从而所求的直线方程为y＝－x．

参考答案：

一、1．B　2．C　3．B　4．D　5．D　6．C

二、7．，.提示：（1）∵l在x轴上的截距为-3，则

_．

（2）当斜率是1时，需_．

8．．

提示：或（舍去，为什么？）

∴

∴

∴所求直线方程为_．

参考答案：

9．提示：方法一：设l交于B（3t-10，t），l交于C（u，2u-8）

∴

∴B（2，4）

由直线方程的两点式得直线l的方程为，即2x+y-8=0

方法二：设l交于B（3t-10，t），则B关于A（3，2）的对称点C（16-3t，4-t）在直线上

∴（以下同方法一）

10．提示：设点A关于直线l:2x-y-5=0的对称点为A′，则直线l是线段AA′的垂直平分线，故|MA|=|MA′|．当B、M、A′共线时|MA′|+|MB|最小．由中点坐标公式及斜率关系得A′（9，-7），由直线方程的两点式得线A′B：6x+7y-5=0，与l：2x-y-5=0联立可得M（2，-1）.