知识导学

到现在为止我们知道在同一平面内两条直线的位置关系有三类：重合、平行和相交，那么两条直线的位置关系就只有这三种吗？我们看下面的正方体．

观察一下和的位置关系是上面所说的其中之一吗？都不是，我们下学期学了立体几何之后就会知道它们的关系是异面的关系．再观察它们是在同一平面内吗？也不是．也就是说如果把“同一平面”这个条件去掉的话，即把研究的范围从平面扩展到空间，那么两条直线的位置关系除了重合、平行和相交之外，还应该包括异面．如果再把范围扩大呢？同学们可以展开自己的想象去探讨一下．

现在我们来看一下在同一平面内的平行和相交的问题．

1.关于两条直线的平行问题

设两条直线分别为：，，则

且．

设两条直线的方程为：，，则

且．

一般地，两条不重合的直线平行的充要条件是斜率相等或斜率均不存在．

已知直线，则和平行的直线方程都可写为Ax+By+m=0（m≠C），并称之为平行直线系．

当k为常数时，方程y=kx+b（b∈R）表示平行直线系．

2.关于两条直线的垂直问题．

设两条直线分别为：，则．

设两条直线的方程为，，则．

设直线和的方向向量分别为与，则.

一般地，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数或一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在．

已知直线，则和l垂直的直线方程都可写为，其中m为待定常数．

3.关于两条直线的夹角问题．

两条直线相交构成四个角，它们是两对对顶角，其中较小的一对角α称为直线的夹角，因此直线的夹角的取值范围为，夹角公式为．而夹角是一个方向角，它是指某条直线按逆时针方向旋转到另一直线所需的最小正角，其范围为（0，π）．直线到的角α与直线到的角β互补．

4.两条直线，，它们的交点的坐标是方程组的实数解．

当两直线时，即或时，方程组无解，两直线无交点；

当时，两直线相交，方程组只有惟一实数解；

当或时，两直线重合，方程组有无数组解．

5.关于点到直线的距离问题．

点到直线Ax+By+C=0的距离公式为．特别地，点到直线x+a=0与直线y+b=0的距离分别为与．

求两条平行直线的距离可转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离．特别地，当两条平行直线的方程为与时，其距离为．

分析：(1)如图，利用点斜式方程，分别与、联立，求得两交点、的坐标（用表示），再利用可求出的值，从而求得的方程．(2)利用、之间的距离及与夹角的关系求解．(3)设直线与、分别相交于、，则可通过求出、的值，确定直线的斜率（或倾斜角），从而求得直线的方程．

解法一：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为和，截得的线段的长，符合题意，

若直线的斜率存在，则设直线的方程为．

解方程组得，

解方程组得．

由，得．

解之，得，即欲求的直线方程为．

综上可知，所求的方程为或．

解法二：由题意，直线、之间的距离为，且直线被平行直线、所截得的线段的长为5（如上图），设直线与直线的夹角为，则，故∴．

由直线的倾斜角为135°，知直线的倾斜角为0°或90°，又由直线过点，故直线的方程为或．

解法三：设直线与、分别相交于、，则：

，．

两式相减，得．　　　①

又　　　　　　　　②

联立①、②，可得或

由上可知，直线的倾斜角分别为0°或90°．

故所求直线方程为或．

说明：本题容易产生的误解是默认直线的斜率存在，这样由解法一就只能得到，从而遗漏了斜率不存在的情形．

一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长的直线，当小于两平行直线之间距离时无解；当时有唯一解；当时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角后，再求直线的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．

分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题．

解：如图，

设，若，则，，

即

由①、②解得．

若，则

即

由③、④式解得．

故点的坐标为或．

说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．(2)在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中、的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．

参考答案：

1．C    2．C    3．C    4．D   5．B    6．或   7．

8．和

参考答案：

9．解：设的斜率为，则或_．

方程为或_．

所求直线的方程为或_．

10．解：当时，，不满足题意．

，，，_．

（1）若，则_．

（2）若、重合，则_．

综上，时，；时与重合．