知识导学

提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题．近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用．根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．

所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题．线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域．

线性规划问题是高中教材增设的内容，这部分知识较为新颖．实用性强，涉及面广，在中学课本中又首次出现，因此同学们在学习上会有一定困难，我们把相关知识进行总结和提炼，使同学们对线性规划有一个初步的了解．

一、二元一次不等式表示平面区域

1．二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域．

2．判定方法：直线定界，特殊点定域；若C≠0，则直线定界，原点定域；

3．应该注意的几个问题：

（1）若不等式中不含等于0，则边界应画成虚线，否则应画成实线．

（2）画图时应非常准确，否则将得不到正确结果．

4．二元一次不等式组表示的平面区域为各不等式表示区域的公共部分．

二、线性规划的有关概念

1．由x，y的不等式(或方程)组成的条件组称为x，y的约束条件．

2．关于x，y的一次不等式或方程组成的条件组称为x，y的线性约束条件．

3．欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式z=f（x，y）称为目标函数．

4．关于x，y的一次目标函数称为线性目标函数z=Ax+By．Z的几何意义为直线Ax+By-z=0在Y轴上的截距的B倍．

5．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题．

6．满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解．

7．所有可行解组成的集合称为可行域．（可以是封闭多边形也可以是无界区域或离散点集）

8．使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解．

三、用图解法解线性规划问题的基本步骤：

1．审题：读题、列表．搞清问题中的自变量（决策变量）、约束条件、和目标函数并将相关数据列成表格（文字语言符号化）．

2．求解：（代数问题几何化）

（1）画：建立坐标系并画出线性约束条件所表示的可行域；

（2）移：平移根据线性目标函数表达式所作出的过原点的初始等值线（即f（x，y）=0的图象），找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的等值线（即经过可行域内的点而且与原点距离最近的等值线），确定最优点的位置．

（3）求：分析最优点满足的条件，列出方程组并解方程组求出最优解；

（4）答：作出答案．

四、几点注意：

1．线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．

2．求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——等值线在y轴上的截距或其相反数．

3．当自变量只能取整数时，最优解只能取整点（即横坐标纵坐标都是整数的点），求最优整数解时，必须精确作图（打网格）并细心观察，等值线在平移过程中最先和最后经过的整点即为最优解．

4．图解法只能解决两个自变量的线性规划问题．

解：先画出直线2x－3y+6=0（画成虚线），取原点（0，0），代入2x－3y+6=0中，因为2·0－3·0+6>0，所以，原点在不等式2x－3y+6>0所表示的平面区域内，不等式2x－3y+6>0所表示的平面区域请同学们自己画出．

点拨：教科书中有这样的一段叙述：“由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）来说，把它的坐标（x，y）代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从代数式值的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．”这里强调了这样的一个重要的事实：在直线一侧所有的点都使Ax+By+C同号，另外，由于原点的代入，数值计算相对来说较简单，故当C≠0时，取原点作为特殊点来判断Ax+By+C的符号，那应该是最方便的，当C=0时，因原点已在直线Ax+By+C=0上，故不能通过原点来判断Ax+By+C的符号，此时其值恒为0．

　　解：设两村庄为两点A，B，小河为一条直线L，原问题便转化成在直线上找一点P，使P点到A，B两点距离之和为最小的问题．

　　以L所在直线为 轴， 轴通过A点建立直角坐标系，如图所示．作A关于 轴的对称点 ，连 ， 与 轴交于点P．由平面几何知识得，点P即为所求．据已知条件，A（0，300）， （0，－300）．过B作 轴于点 ，过A作 于点H．

　　由 ， ，得B（300，700）．于是直线 的方程为

，即

　　所以P点的坐标即为 与 轴的交点（90，0），即水电站应建在河边两村间且离A村距河边的最近点90m的地方．

	用煤（吨）	用电（千瓦）	产值（万元）
甲种产品	7	2	8
乙种产品	3	5	11

参考答案：

1．D　　点拨：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，是线性规划问题，满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解便是最优解．

2．A　　点拨：当动直线z=4x－3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值．

3．解：因直线ax+（2a―1）y+1=0恒过定点（―2，1），而显然点（―2，0）在点（―2，1）的下方，故它应满足不等式，将点（―2，0）代入不等式，即得―2a+1<0．所以a>(1/2)

4．生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21000元．

点拨：设每星期生产x把椅子、y张书桌，那么利润P=15x+20y，而x、y必须满足约束条件：在直角坐标系内作出它的表示的区域，它围成一个封闭的四边形，其四个顶点分别为（0，0），（650，0），（200，900），（0，1000），而直线P=15x+20y，当P变化时，它是一组平行的直线，当纵截距最大时，利润亦最大，在上述区域内平行移动的直线，易见当直线过点（200，900）时，P值最大．

5．每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值到达最大值117万元．

点拨：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y号，则7x+3y≤56，2x+5y≤45，x、y≥0，目标函数z=8x+11y，作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当x=5，y=7时，z取最大值117万元．