知识导学

立体几何的基本任务是从数量和位置两个方面研究空间图形 ，立体图形是研究的对象，对它的一般描述是按“三维对象（几何模型）——图形——文字——符号”这种程序进行的．其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学工具，也是形象、直观的语言．完成了由三维对象到图形的飞跃，才有可能顺利进行后续内容的学习．因此，加强图形的运用十分重要．文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简化和再次抽象．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，一般是先给出图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，以使对它们形成更好的理解．

公理是数学逻辑推理的基石，深入理解公理为以后打下扎实的基础．下面详细分析平面的三个公理．

公理1：

文字语言的描述：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．

　　符号语言的描述：

作用：①判断直线是否在平面内；检验物体的表面是否平整．

公理2：

文字语言描述：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

符号语言描述：

作用：①判定两个平面是否相交及两个平面的交线；②两个平面公共点之间的关系．

按照上述分析方法,你能否分析出公理3?

公理3：

文字语言描述：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3 的作用：①确定一个平面；②判断点是否在同一平面内等．

公理3的内容关系到“确定”平面的条件．应透彻理解公理中“有且只有一个”的含义．这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．公理3强调的是存在和唯一两方面，因此，“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．

公理3有三个推论，做题时根据条件灵活选择公理3及其三个推论作为推理依据．公理3及推论论证所研究的图形是平面图形，从而实现空间问题平面化，简化图形的复杂度．

典型例题

例1  如图，正方体中，点分别是棱中点，求证点共面．

例2  两个三角形ABC和所在的平面和相交于直线l，且直线相交于点O，

求证：（1）AB和和和分别在同一个平面内；

（2）如果AB和和和分别相交于P、Q、R．那么交点P、Q、R在同一直线上．

习题精选

1．三条直线共面的条件是（ 　）

  （A）互相平行

  （B）一条和其他两条相交

  （C）三线共点

（D）两两相交且不共点

2．平面和平面有三个公共点，那么这两个平面（ 　  ）

  （A）重合         （B）相交

  （C）相交或重合   （D）不垂直

3．空间有五个点，其中有四点在同一平面内，但没有任何三点在同一条直线上，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（   　）

  （A）4    （B）5

  （C）6    （D）7

4．下图中各图是正方体或正四面体，、、、分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是（  　 ）

5．在空间四点中，无三点共线是无四点共面的（  ）

  （A）充分不必要条件   （B）必要不充分条件

  （C）充要条件         （D）既不充分又不必要条件

6．已知线段AB在平面外，且不与平行，在空间任取点，使直线交于，直线交于．求证无论点怎样取，过定点．

7．在正方体中，点、分别是和的中点，点、分别是棱和上的点，且，．

  求证：（1）直线和相交于一点；

（2）点在直线上．