知识导学

　　分类计数原理与分步计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法，是排列、组合的两个基本原理．

分类计数原理（也称加法原理）完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有

种不同的方法．

分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法．那么完成这件事共有

种不同的方法．

两种计数原理的相同点在于都用以回答做一件事共有多少种不同的方法；不同点在于“分类”与“分步”，类与类之间是相互独立的；步与步之间是相互依存的，是联系的，缺一不可的．

（1）分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，即不重复也不遗漏．只有满足这些条件，才能用分类计数原理．

　　（2）分步计数原理中的“做一件事，完成它需分成个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成个步骤．分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理．

　　（3）分类计数原理和分步计数原理的共同点是它们完成一件事情，共有多少种不同的方法．区别在于完成一件事情的方式不同：分类计数原理是“分类完成”，即任何一种办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；分步计数原理是“分步完成”，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了，才能完成这件事情．区分分类还是分步的关键是看经过这个过程，有没有完成整个事情．

　　（4）透彻理解两个原理，注意两个基本原理的区别及联系，在运用两个基本原理解决问题的过程中，要注意如下思维过程的训练和总结：由少到多，由具体到抽象，由特殊到一般，由简单到复杂，由形象思维转化为逻辑思维．

例1．（1）在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？

（2）在电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源使灯发光的方法有几种？

　　解：（1）因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类计数原理，所以共有：

2+3=5种接通电源使灯发亮的方法．

　　（2）只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：

　　2×3=6种不同的方法接通电源，使电灯发光．

　　说明：完成一件事分类计数原理各类之间是相互独立的，因此利用加法形式；而分步计数原理需要几个连续步骤共同完成，因此用乘法形式．

例2．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（　　　）．

A．12对　　B．24对　　C．36对　　D．48

解：把六棱锥所有棱分成3类：①底面上的六条棱所在的直线共面，则每两条之间不能构成异面直线．

②六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线．

③结合图形可知，有(对)．

　　四条侧棱所在的四条直线中一条才能构成异面直线．由分步计数原理，构成异面直线有(对)

∴应选B．

说明：此题是用分步计数原理来解的．结合这几例题，可以加深对“完成一件事，需要分成个步骤，分析时，需要分成个步骤”的理解，所谓“完成一件事情，需要分成个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须并且只需连续完成这个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用分步计数原理．

例3．已知集合，集合．从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？