在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。我们可以把“事件”分成“必然事件”、“不可能事件”和“随机事件”三种，必然事件是概率为1的事件，不可能事件是概率为0的事件，而随机事件则是概率大于0小于1的事件。它是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。应该注意的是，事件的结果是相应于“一定条件”而言的。因此，要弄清某一随机事件，就必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。所谓“机遇理论”或“概率理论”就是考察随机事件的理论。那么，按照这种日常生活的理解，一个事件怎么会是一个随机事件呢？让我们看下面的例子。

掷硬币是典型的随机事件：把一枚硬币一再地随手一掷，这枚硬币一会出现正面，一会出现反面；但是，当掷的次数增多时，出现正面的次数与出现反面的次数将趋于相等；在任意给定的场合，当掷的次数足够多时，就可以认为出现正面的次数与出现反面的次数是相等的（即可以忽略出现正面的次数与出现反面的次数之间的微小差别）。这一经验事实可表成：在大量掷硬币的事件中，硬币出现正面的相对频率是1/2。在这种意义下，我们说“单次掷一枚硬币，它出现正面”的概率是1/2。为什么这一事件有确定的概率1/2呢？因为有“在大量掷硬币的事件中，硬币出现正面的相对频率是1/2”这一经验事实，这一经验事实乃是一个统计规律。一位射手练习打靶，他发射的每一发子弹都落在靶上某处。或许，迄今为止还没有人专门研究骰子运动的动力学规律，但子弹的运动的动力学规律--弹道学，却是人们精心研究过的。一颗子弹从发射到落在靶上的运动过程，服从弹道学的规律，这种运动过程似乎不能说是除了先知以外没有一个科学家能够预测的，也不曾有人刻意制订某种游戏规则以保证它的初始条件的不可预测性。但是，一颗子弹落在靶上某处仍然是一个随机事件。为什么呢？这是由于有如下经验事实：如果这位射手连续射击，发射了一千发子弹，每一颗子弹都射在靶上，则一种与弹道学规律迥然不同的另一种规律起作用了。这一千发子弹的落点在靶上形成一种颇为规则的分布。如果这位射手再一次射出一千发子弹，还会形成一个大同小异的分布。
    如果有一个人打靶，我们在靶上给出一个坐标系，使得靶上的一个位置对应坐标(x, y)，则大量子弹的落点在靶上的分布，可以由一个二元函数F(x,y)来描写：如果靶上一共有N颗子弹，s是靶上一个位于(x, y)附近的一个足够小的区域，其面积也记作s，则该小区域内的落下的子弹数大致为n=NF(x, y)s。在这种意义下，我们说这位射手射出的单发子弹落在s中的概率为n/N=F(x, y)s。这个概率既不是1也不是0，而是某一介于1与0之间的数值。因此我们说这发子弹落在s中是一个随机事件。
    当射手发射子弹时，他瞄准的是靶心，由于眼睛和手的偏差，由于风向或其他干扰，这颗子弹偏离了靶心。诚然，这些导致子弹偏离靶心的上述主观的和客观的因素是难以预测、难以控制的。但是，这发子弹落在s中是一个随机事件这一结论所表现的不是因为使它偏离靶心的各种因素不能预测，而是因为我们发现了大量子弹落点的统计规律。在这里，概率计算的前提是F(x,y)这一统计分布函数，这是一个统计的前提，结论是单发子弹落在s中的概率是F(x,y)s，这是一个统计的结论。我们由此得出一般结论：概率运算是从统计的前提得出统计的结论，而不是从“无知”得出“在实践中得到光辉的验证的结论”。

互斥事件是指不能同时发生的两个事件叫做互斥事件，例如：为民服务热线电话一分钟内‘呼唤次数大于3次'与‘呼唤次数小于2次'就是互斥事件。概率加法定理仅适用于互斥事件，即当事件A、B互斥时，否则公式不能用。从集合的角度看事件A与事件B彼此互斥是指A所含结果组成的集合与事件B所含结果组成的集合彼此不相交。

和互斥事件相对应的概念是对立事件，那么什么是对立事件呢？若事件A与事件B互斥，且其中必有一个发生，则称A、B为对立事件.此时记B=。例如：为民服务热线电话一分钟内“呼唤次数大于3次”与“呼唤次数不大于3次”就是对立事件.从集合的角度看，事件所含结果组成的集合，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集。

那么互斥事件和对立事件有何联系呢？.两个对立事件一定是互斥事件，反之两个互斥事件不一定是对立事件.两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件；两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。.

看下面的例题：

例1.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名？

 

例2.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取到的2只中正品、次品各一只；

（3）取到的2只中至少有一只正品.

 

例3.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

（1）摸出2个或3个白球；

（2）至少摸出1个白球；

（3）至少摸出1个黑球.

 

相互独立事件是指事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。相互独立事件同时发生的概率：。例如“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件，同时发生，记作，简称积事件。

从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有种等可能的结果同时摸出白球的结果有种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率．

另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率．显然．

这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即  ．对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：

看下面的例题：

例4．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：

（1）人都射中目标的概率；

（2）人中恰有人射中目标的概率；

（3）人至少有人射中目标的概率；

（4）人至多有人射中目标的概率？

 

两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的，同学们要注意区别。