在平面中没有交点的两条直线一定平行，在空间中两条没有交点的直线一定平行吗？

从上图中可以看出，空间中没有交点的两条直线并不一定平行．空间两条不重合的直线有三种位置关系，除了平行、相交还有异面．长方体中就存在多组异面直线，如直线与，直线与．

探索：下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么这四条线段所在的直线是异面直线的有哪几对？

平面内两条相交直线存在夹角，空间中的异面直线所成的角是由两条相交直线所成角的扩充而生成的．异面直线所成的角，是指着两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角．

对于异面直线所成的角可从三个方面理解：

（1）异面直线所成的角大小与该角的顶点O在空间中的位置无关，这是由等角定理得出的．因此，在解题过程中，点O的位置可由我们择优选择．而顶点O的位置选择恰当与否，直接影响到解题过程的难易程度．为了解题方便，通常把顶点O选在两条异面直线中的一条上，这样可以少作一条平行线；还可以把顶点O选在题目所给图形中的特殊位置的点上，只要有此得出的异面直线所成角易求即可．

（2）寻找异面直线所成的角时，其中“过空间中一点O引平行a的直线”的完成需分两步进行：第一步，过直线a和直线a外的点O确定一个平面；第二步，在平面上过点O作直线．经过平移后，由两条相交直线确定一个平面，从而把空间的角转化为平面内相交直线所成的角．

（3）与相交所成的四个角中，选取锐角或直角，即选较小的角．一定要牢记异面直线所成角的范围是．

当两条异面直线所成的角为时，定义这两条异面直线相互垂直．

两条异面直线所成的角可概括为：选点、平移、相交、定角（锐角或直角）．

通过下面这道题，了解异面直线所成角的寻找．

由四个全等的等边三角形组成的封闭几何体称为正四面体，如图，正四面体中，、分别是棱、的中点，与是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线、的平行线，找出异面直线与成的角．

分析1：选取平面，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点，伸展平面，在该平面中，过点作交的延长线于，连结．可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角．如图．

分析2：选取平面，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点．在平面中，过点作的平行线交于点，连结，可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角．如图．

分析3：选取平面，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点．在平面中，过点作，与相交于点，连结，可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角．

分析4：选取平面，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点，伸展平面，在该平面内过点作与的延长线交于点，且，连结，则与所成的角，即为异面直线与所成的角．如图．

求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思考2那样作角，因为此角在几何体内部，容易求解．

我们再看一道例题

如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB和CD的中点，若，，求异面直线AC与BD所成的角．

解：取AD的中点G，连接EG，FG，则

．

是异面直线AC与BD所成的角（或补角），

在中有，

，，，

由余弦定理得

所以，是异面直线AC与BD所成角的补角，异面直线AC与BD所成的角是．

异面直线所成角为锐角或直角，所以其余弦值不能为负数，若求出的角的余弦值为负数，说明所求的角是异面直线的补角．此题若答异面直线所成的角是则错误．

从以上两题可以看出，求两条异面直线所成的角的一般步骤是：

（1）       构造：用平移法作异面直线所成的角；

（2）       认定：证明作出的角就是要求的角；

（3）       计算：利用三角形求角；

（4）       结论．

要确定两条异面直线的相对位置，除了它们所成角以外，还需要确定它们的距离，为此需要定义异面直线间的距离．定义距离之前，需先定义异面直线的公垂线．和两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，称为两条异面直线的距离．

对公垂线定义的理解：

（1）两条异面直线的公垂线必须与这两条异面直线“同时垂直且相交”，其中“垂直”与“相交”这两个条件缺一不可．

（2）两条异面直线的公垂线段有且只有一条．而与两条异面直线同时垂直的直线却有无数条．如长方体中，棱与棱所在的两条直线是异面直线，棱、、、所在的直线都与两条异面直线和垂直，然而只有与异面直线和同时相交，所以只有是这两条异面直线的公垂线．

求异面直线的距离，最基本的方法是先作出公垂线，在计算公垂线段的长度．

只有两条异面直线所成的角与距离都确定后，才能判定两条异面直线的相对位置关系，这是立体几何中关于异面直线的两个重要刻画位置关系的量．

我们通过具体题目分析一下公垂线段的求法．

如图，空间四边形中，四边、、、和对角线、都等于，、分别为、的中点．

（1）求证：是异面直线、的公垂线．

（2）求异面直线和的距离．

分析：要证明是异面直线与的公垂线，必须说明两个方面的问题，一个方面与、都相交，另一个方面、与都垂直．

(1)证明：连结、，由已知和均为正三角形，、分别为、的中点，∴，．

同理，又与、都相交，

∴为异面直线、的公垂线．

(2)解：∵空间四边形各边及对角线、的长均为，

∴，而，

∴在中，．

∴异面直线和之间的距离为．

说明：(1)求线段的长度一般地要把该线段放到一个三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等．

(2)满足条件的该空间四边形其实质是空间正四面体，该问题实质上是求正四面体对棱之间的距离．