知识导学

　　空间中直线与平面的位置关系

直线在平面内已经学习过，这里主要探讨直线与平面的平行、直线与平面的垂直．

直线和平面平行的判定定理和性质定理

（1）判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

符号表示：．

图形语言：

说明：

直线与平面平行的判定定理是研究线面、面面位置关系的基础，它反映了直线与平面的内在联系，可以将空间问题转化为平面问题，正确地理解掌握可以帮助我们建立空间概念，提高空间想象能力．

使用此判定定理必须具备三个条件，只有从问题的条件、或通过条件转化得到这三个条件时才能使用．

至此，我们判断或证明直线与平面平行就有两个工具：①利用直线与平面平行的定义；②判定定理；后面还会学到平面与平面的性质也可以证明线面平行．

（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

符号表示：．

图形语言：

说明：

关于线面平行的性质订立，要从以下两个方面去理解：

①一条直线b和一个平面平行，则过b的任何平面与平面的交线都与直线b平行，即b可以和平面上的无数条直线平行．

②一条直线和一个平面平行，则b不能与平面上所有直线平行，在平面内，除了与b平行的直线外，其余每一条直线与直线b都是异面直线．

性质定理可以作为直线和直线平行的判定方法．性质定理中有三个条件：

①直线a和平面平行；

②平面和平面相交于直线b；

③直线a在平面内．

这三个条件阐明了一条直线与两个平面以及它们的交线之间的位置关系，是判断直线与直线平行时缺一不可的条件．

直线与平面平行的性质定理可以将空间中的线面平行问题转化为平面内两直线的平行．

直线和平面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

符号表示：

图形表示：

说明：利用直线和平面垂直的定理直接判定直线和平面垂直，需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，运用时有些困难．判定定理只需要选择面两条相交直线，考虑它们是否与平面外一条直线垂直．将线面垂直问题转化为线线垂直问题，仍然是将问题“平面化”、“降维”．

判定直线与平面垂直只需这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，这里要注意“两条”和“相交直线”这两个条件，至于这两条相交直线是否已知直线相交是无关要紧的．线面垂直问题转化为线线垂直，因此首先复习一下：线段垂直平分线的性质；异面直线所成的角；两条直线垂直的证明．

证明线面垂直还可以利用：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于平面．通过另一条直线作为中间桥梁证明．

（2）性质定理

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

符号表示：．

图形表示：

说明： 直线与平面垂直的性质定理又提供了一种判定两条直线平行的方法．到现在为止，你自己总结一下判定空间中两条直线平行的方法有哪些？

直线与平面垂直的性质定理也提供了空间中距离求解的转化．点到平面的距离、直线与其平行平面间的距离都使用直线与平面垂直来定义的．所以，今后解题中，点到平面的距离、直线与其平行平面间的距离可以相互转化，最终转化为两点之间的距离．

典型例题

例1．平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．

例2． 是平行四边形所在平面外一点，是的中点，求证：平面．

例3．如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、、分别于点、、，求证：，．

例4．平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点，连、，且、分别是在、上的射影．

(1)求证：；

(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？

(3)这个图形中有多少个直角三角形？

(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

例5．如图，已知在长方体中，棱，，求直线和平面的距离．

习题精选

1．已知、、是不在同一平面内的三条线段，、、分别是、、的中点，求证：平面和平行，也和平行．

2．正方体中，、分别是、的中点如下图．求证：．

3．已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：．

4．如图，已知空间四边形的边，，引，为垂足，作于，求证：．

5．如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、、分别于点、、，求证：，．

6．如图，已知在长方体中，棱，，求直线和平面的距离．