二面角是刻画两个相交平面相对位置关系的一个量，通常将二面角问题转化为二面角的平面角处理，这种转化正体现了立体几何中研究问题的主要思想方法——由空间向平面转的“降维”思想方法．

寻找二面角的平面角的基本方法：（1）定义法，（2）垂面法，（3）三垂线定理或其逆定理法，（4）特殊图形法，（5）补形法或平移法．这几种基本方法在解题中选用哪种，一要看具体问题所给图形的位置关系，二要看对所求问题所作的推理与计算有利、方便而定，主要还是从题目条件出发，抓住题目中所给图形的特点．

1．垂面法

例　如果二面角的平面角是锐角，点到、和棱的距离分别为、、，求二面角的大小．

分析：P点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理．

解：如图甲是点在二面角的内部时，

图乙是点在二面角的外部时．

∵，∴．

∵，∴面．

同理，面，

而，面面

∴面与面应重合，

即、、、在同一平面内，

是二面角的平面角．

在中，，

∴．

在中，，

∴，

故（图甲）或（图乙）．

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

2．三垂线定理法

例　正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小．

分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是．再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了．

解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结．

∵面，面，

∴，

又，∴面．

又∵，∴，

∴为所求二面角的平面角．

∵∽，∴．

而，，，∴．

在中，．

∵，∴．

在中，，

在中，，

∴．

说明：二面角的大小是通过二面角的平面角大小来确定的．这是空间问题平面化思想的体现．

3．特殊图形法

例  在正方体中，求二面角的余弦值．

分析：正方体中存在许多垂直、相等关系，从图形上可知和均是等腰三角形，而且有公共底边，因此等腰三角形底边上的高组成的角就是二面角的平面角．

解： 取的中点M，连接AM，CM．

∵  和均是等腰三角形．

∴  ，，

故是二面角的平面角．

设正方体的棱长为a，在中，，，．由余弦定理可得

．

∴  二面角的余弦值为．

说明：求解二面角的平面角时，充分利用题目存在的特殊图形，如等腰三角形、直角三角形等，在特殊关系寻找二面角的平面角．

4．补形法

已知DB、EC都垂直于正所在的平面，且．求平面与平面所成二面角的大小．

分析：题目所给出的二面角图形，只有两个半平面的一个交点，寻找二面角的平面角需作出二面角的棱，因此需要补形作出二面角的棱．

解：∵平面，平面．

∴   ，又，

故延长、交于F，则AF为所求二面角的棱．

设，则，

∵，

则为，且，

又由平面，有三垂线定理得

，

∴   为二面角的平面角，

是等腰直角三角形，

∴   ．

所以平面与平面所成二面角的大小为或．

说明：因为两平面相交于一点，必相交于过这点的一条直线，所以通过补形线作出这两个平面的交线，由于二面角取值范围是，所以本题有两个解，它们的度数互补．

5．直接证明二面角的平面角为

例　在所在平面外有一点，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且．求二面角的大小．

分析：由题设易证，由已知得平面，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作平面于，连结并延长交于，连结．

∵平面，

∴是与平面所成角，．

∵平面，，

∴，．

∴是二面角的平面角，．

∵，∴．

又∵，∴平面，

∴平面平面，

∴二面角的大小为．

说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意不满足第(3)条，不是二面角的平面角．

在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为，反之亦然．

求解二面角问题时要注意两点：一是平面角的两边分别在二面角的两个平面内；二是平面角的两边都和二面角的棱垂直．二面角的大小是用它的平面角来度量的，在解题时若要求二面角的大小，则首先要求出它的平面角的大小，所以正确作出（或找出）二面角的平面角是解决有关二面角问题的关键．