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棱锥在在生活中也是广泛存在的，棱锥有哪些性质？

对于正棱锥又有哪些性质呢？

棱锥的表面积、侧面积可以将每个面的面积求出再求和，那么体积该如何求呢？

棱锥体积是通过祖暅原理推导出来的，首先我们了解一下祖暅原理．

　　祖暅是南北朝时代杰出的数学家祖冲之的儿子，字景烁．受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小就热爱科学，对数学具有特别浓厚的兴趣，祖冲之在462年编制“大明历”就是在祖暅三次建议的基础上完成的．《缀术》一书经学者们考证，有些条目就是祖暅所作．祖暅终生读书专心致志，因走路时思考问题所以闹出了许多笑话．祖暅原理是关于球体体积的计算方法，这是祖暅一生最有代表性的发现．他沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势相同，则体不容异”的结论．“势”即是高，“幂”是面积，意思是，如果二等高的立体在同高处截二立体的面积恒等，则这两个物体的体积相等．这个原理就是祖暅原理．在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂．二者有异曲同工之妙．“祖暅原理”在17世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，但比祖暅晚一千余年．

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如过截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．

根据祖暅原理和长方体的体积公式，可以得出棱柱和圆柱的体积公式：

，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．

棱锥的体积公式需要先求出一个特殊棱锥的体积公式，因此我们先证明三棱锥的体积公式．思路是，在已知三棱柱体积公式的基础上，探究未知的三棱锥体积公式，利用它们的内在联系，通过“割补法”把未知转化为已知．下面提供的动画，是将三棱柱分割成三个三棱锥，展示三棱锥之间的关系．

通过分割三棱柱可以求得三棱锥的体积公式：

，其中S是三棱锥的底面积，h是三棱锥的高．

因此根据祖暅原理可以得出一般锥体的体积公式：

，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

锥体体积公式的推导，是通过一个特殊的锥体——三棱锥为基础实现的．三棱锥的体积公式的推导，又是通过分割三棱柱，使之转化为棱锥实现的．在上述推导过程中体现了“由特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物的转化”的思想．

例1．四棱锥，侧面是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面是面积为的菱形，为菱形的锐角．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）求棱锥的侧面积与体积．

分析：取中点，侧面底面，从而可利用三垂线定理转化为证明，线面垂直也为二面角平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的特殊性来解决．

证明：（1）取中点，连、，

∵△是等边三角形，∴，

∵面底面，∴底面，

∵等边△的边长为2，∴

∴菱形的边长为2，又菱形的面积是，

∴，∴，又是锐角，

∴，∴△是等边三角形，

∴，在平面上射影为，∴．

（2）∵，由（1），，

∴，．

∴是二面角的平面角，

在△中，

∴，即二面角的大小为．

（3）由（2）在△中，可得，

在△中，，，∴，，

在△中，，，可得，

又正△边长为2，∴，

∴，

∵，∴．

说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等．可以举一个类似的例子，四棱锥的高为1，底面为菱形，侧面和侧面所成角为，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成角，求棱锥的全面积．这里由相交平面与都与底面垂直得到垂直于底面，利用底面，一方面落实了棱锥的高为，另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为．