概率是对随现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的．“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到了承上启下的作用，是这一章的关键知识之一．

随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究；离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将试验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究随机现象．并为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示了离散型随机变量的统计规律．通过对它的学习，可以使我们进一步感受到生活与数学的“零距离”，从而激发我们学习数学的热情．

我们先来看一下什么是随机变量，随机试验的结果可以用一个变量来表示，则称此变量为随机变量．通俗的理解就是：比如同学们去练习打靶，打出的环数可能是1，2，3，4，5，6……10这些数中的任何一个，我们可以把这些数统称为“环数”，如果把打靶看成一个随机试验，那么“环数”就是它的结果，而这个结果是一个变量，我们把这个变量称为随机变量．随机变量通常用希腊字母、表示．若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）．

先来看一个有趣的故事，有一天，两位猎人同时发射一枪，打死了一只正在奔驰的野兔，二人直奔猎物，都想得到这个战利品，于是争论起来．一智者路过此地，问明事由，出面调解，猎人甲称：“我的枪法百发百中，兔子是我打死的．”猎人乙争辩道：“我的枪法比他准，兔子分明是我打中的．”智者道：“你们不必争吵了，听我安排”，智者命二人向同一目标各打5枪，甲的命中率为0.4，乙的命中率为0.6．甲以为这下完了，兔子必判给乙，很丧气，扭头便走，智者喊道：“且慢，我来给你们分配．”智者经计算，告诉二人如果此猎物价值若干，你们可按7:12分配．结果兔子卖了57元，甲分得21元，乙分得36元，二人皆大欢喜，欣然而归．

请同学们想一想，这个分配方案是否合理？智者是为什么做出7:12的分配方案的？这其实就是一个离散型随机变量分布列的问题，同学们，你们能说出它的理由吗？这个问题留给同学们课下讨论，下面我们来看一下这个故事其中的数学问题：

设离散型随机变量ξ可能取得值为x₁，x₂，…，x₃，…，

ξ取每一个值x_i（i=1，2，…）的概率为，则称表

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴P_i≥0，i＝1，2，…；    

⑵P₁+P₂+…=1．

　　对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和．即．

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

　　由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．

在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么

（k＝0,1,2,…， ）．

　　于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

　　称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， _．

典型例题

　　例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

　(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

    (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．

　　例2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？

　　例3．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费用也是一个随机变量．

(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

    (2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

　　例4．袋中装有6个分别标有1至6号数的小球，从袋中同时任取两球，以两球号数差作为随机变量x（x＞0），求x的概率分布．

　　例5．甲、乙、丙三人独立参加入学考试合格的概率分别为、、，记合格人数为ξ，试求ξ的分布列．

　　例6．设随机变量ξ的概率分布如表所示：

　　求:（1）P（ξ＜1），P（ξ≤1），P（ξ＜2），P（ξ≤2）；

　　（2）F（x）＝P（ξ≤x），x∈R．

　　　　A．光照时间和果树产量　　　　　B．降雪量和交通事故发生率

　　　　C．人的年龄和身高　　　　　　　D．正方形的边长和面积

　　2．有以下四个随机变量：

　　　（1）某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数ξ是一个随机变量

　　　（2）如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差ξ是一个随机变量

　　　（3）一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置ξ是一个随机变量

　　　（4）某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量

　　　其中离散型随机变量的个数是（      ）

　　　　　A．1        B．2　　　　C．3         D．4

　　3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码．在有放回的抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数是（     ）

　　　　　A．25      B．10　　　C．9       D．5

　　4．随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝，k＝1、2、3、4，其中c为常数，则P（）的值为（    ）

　　　　　A．        B．　　　C．       D．

　　5．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（     ）

　　　　　A．取到的球的个数       B．取到红球的个数

　　　　　C．至少取到一个红球     D．至少取到一个红球的概率

　　6．抛掷两枚骰子，所得点数之和计为ξ，那么，ξ＝4表示的随机实验结果是（     ）

　　　　　A．一颗是3点，一颗是1点　　　　B．两颗都是2点

　　　　　C．两颗都是4点　　　　D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

　　7．已知随机变量ξ的分布列为：

　　　则m＝_______．

　　8．随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝（k＝0，1，2，…，10）则a＝_______．

　　9．设随机变量ξ只可能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P（ξ≥9）＝_______；P（6＜ξ≤14）＝_______．

　　10．已知随机变量ξ～B（5，），则P（ξ＝3）＝_______．

　　11．如果天气状况分为阴、小雨、中雨、大雨、晴五种，它们分别用数字1、2、3、4、5来表示，用ξ来表示一天的天气状况．若某天的天气状况是阴天有小雨，则用ξ的表示式可表示为_______．