知识导学

这部分内容要求我们在理解导函数的概念的基础之上，熟记常见的、基本的导数公式；掌握两个函数的和、差、积、商的导数法则和复合函数的求导法则；会求一些简单函数的导数．下面来看一下几个常见函数的导数：

1．(c为常数)；2．（n）；3．；4．；　　　　　　　　　　　　 　　　　
　　5．； 6．；7． ； 8．．

导数的运算主要是利用导数的四则运算以及复合函数的求导法则，复合函数求导数，关键是搞清函数的复合关系，合理选取中间变量，从外到内一层一层求导，较复杂的导数求导前可以先对解析式进行化简，注意两边取导时，y是x的函数，隐函数的导数一般含x、y两个变量．两个函数的四则运算的导数：

若u(x)，v(x)的导数都存在，则：

1．； 2．；3．；4．复合函数导数：．

分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

    解：1．解法一：设，则

解法二：

         

2．解法一：设，则

解法二：

          

3．解法一：设，则

解法二：

       

4．解法一：设，则

解法二：

       

说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．

分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．

解：1．

    

2．

    

    

3．解法一：

            

            

            

            

解法二：，

∴     

4．解法一：

             

解法二：，

      

        

说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素．从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手．

分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则．先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算．一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量．

解：1．解法一：设，则

解法二：

2．解法一：设，则

解法二：

         

说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用．其次应重视与的区别，前者是对中间变量的求导，后者表示对自变量x的求导．

分析：当时因为存在，所以应当用导数定义求，当时，的关系式是初等函数，可以按各种求导法求它的导数．

解：当时，

当时，

说明：如果一个函数在点连续，则有，但如果我们不能断定的导数是否在点连续，不能认为．

参考答案：

1．D  2．A  3．D  4．C  5．A  6．C 

7．

8．

9．－6     

10．

参考答案：

11．提示：，函数在P（1，1）处的切线方程为．

12．提示：设l与相切于点，与相切于

对于，则与相切于点P的切线方程为，即，

对于，与相切于Q的切线方程为，

即

∵两切线重合，∴且，解得或

∴直线l方程为或

13．提示：（1）；（2）；

（3）；（4）

14．提示：（1）

　（2）

      

（3）

（4）

15．提示：易知点P在曲线上，故点P就是切点，

∴所求切线方程为，即