我们周围的任何事物都可以抽象成为几何图形，那么几何图形又是由什么最基本的图形组成的？一般我们都说是由点、线、面组成的，也就是说所有图形的基础应该是点、线和面．但实质上线和面也是由点组成的，所以归结到最基本的基础应该是点．那么根据上面所述，我们可以认为周围的任何事物都是某些点的集合．

提到了图形的基础就不得不说一下几何学的发展，从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派．这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派．他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性．他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界．数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验．

毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理．他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的．这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．

不可通约性的发现引起第一次数学危机．有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海．不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死．不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来．整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位．

同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的．从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物．

回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法．即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的．比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的．至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段．而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系．

亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理．亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)．另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等．而证明存在的方法需要规定和限制．

亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点．他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理．他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理．

亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统．他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响．

亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述．对于潜在的无穷(大)和实在的无穷(大)加以区别．他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数．但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的．他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的．

欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈．不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系．这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪．牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例．

欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇．其中有七个原始定义，五个公理和五个公设．他规定了存在的证明依赖于构造．

《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍．它一直是几何学的标准著作．但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”． 这里给出了“点”的最早的定义，但是这些定义是不能起逻辑推理的作用．特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)．不管《几何原本》给出的点的定义如何，它毕竟标志着几何学的开始，具有非凡的意义．

现在我们可以这样理解点，有时我们在纸上画一个红点就代表一个点，在地图上把一个城市看成一个点，这些都想象为点．几何中的点在现实中也是找不到的．几何中的点看成是没有形状和大小，只有位置的元素．