知识导学
角的比较的相关知识是进一步学习角的度量和画法，以及进一步研究平面几何图形的基础．通过本节课的学习我们应该学会比较角的大小，理解角平分线的意义，两个角的和、差、倍、分的意义．
1．角的大小的比较有两种方法：
（1）重合法：即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置；
（2）度量法；即比较两个角的度数．
两种方法的比较结果是一致的．
2．利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小．
3．对于角平分线的概念，要注意以下两点：
（1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分．
（2）要掌握角平分线的数学表达式：若OC是 的平分线，则 或 ．
4．在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而非线段．若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大．
角的运算的范围是比较广泛的，在现阶段我们主要学习的运算是求角的余角、补角．
如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．互为余角和互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，并没有限制角的位置关系．也就是说余角、补角与两个角的大小有关系，与他们的位置没有关系．
这里我们需要注意：如果 的余角或者补角是 ，那么的余角或者补角就是．由此我们能够得出结论，它也是余角和补角的性质：等角的余角相等；等角的补角相等．
根据定义：∠α的余角：90°－∠α；∠α的补角：180°－∠α．我们可以得出结论：锐角的补角比它的余角大90°；钝角没有余角，但一定有补角．
典型例题
例1．请你用三角板画165°的角.
画法1：（如图）
（1）利用三角板，画∠AOB＝45°；
（2）在∠AOB的内部画∠AOC＝30°；
（3）反向延长射线OB，得射线OD．∠COD就是所要画的角．
画法2：（如图）
（1）利用三角板，画∠AOB＝90°；
（2）在∠AOB的外部画∠BOC＝45°；
（3）在∠AOC的外部画∠DOC＝30°．∠AOD就是所要画的角．
画法3：（如图）
（1）利用三角板，画∠AOB＝60°；
（2）在∠AOB的外部，画∠BOC＝60°；
（3）在∠AOC的外部，画∠COD＝45°．∠AOD就是所要画的角．
说明：（1）一副三角板只有30°、45°、60°、90°的角，要画出165°的角，关键是把165°用30°、45°、60°、90°、180°角的和或差表示出来．如本题中165°可表示为180°－（45°－30°）；90°＋30°＋45°；60°＋60°＋45°，则产生了以上三种画法；（2）除了上述画法之外，本题还有其他画法，同学们可以试一试；（3）实际上用一副三角板可以作出（15n）°（n是整数，n≤12）的角．
例2．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，请你观察图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
解：与∠DOE互余的角有三个，分别为：∠EOF、∠BOD、∠BOC；与∠DOE互补的角有两个，分别为：∠BOF、∠COE．
说明：互为余角和互为补角只是一种数量关系，与两个角的大小有关，而与这两个角的位置无关．如本题中找∠DOE的补角时，直接从图上找不到，此时我们可以根据余角的性质，将∠DOE转换成与之相等的∠AOF，从图上可观察到∠AOF的补角为∠BOF，又由已知可得∠EOF＝∠BOC，则 ，这样得到另一个容易忽视的∠DOE的补角∠COE．
例3．小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地，从B地又向西走了100米到达C地．
（1）用1∶2000的比例尺（即图上1cm等于实际距离20米）画出示意图；（2）请你用刻度尺量出AC的距离；（3）你知道C点距A点的实际距离是多少米吗？（精确到1米）C点的方向角为多少度呢？（精确到1°）
解： （1）如图，以A为顶点，AN为一边，在直角∠NAM内作∠NAB＝50°，且使AB＝4cm．过B点用三角板作∠BTA＝90°，延长BT到C，使BC＝5cm；
（2）用刻度尺量得AC＝3 cm；
（3）C点距A点的实际距离为60米，C点在A点的北偏西40°方向（或∠NAC＝40°）．
说明：（1）用角度表示方向时，在哪一点观测就在哪一点画互成直角的两条南北向直线和东西向直线，无论观测点选在何处，所作的南北向直线或东西向直线都是平行的；（2）在写方向时，南北方向为起始方向，只能说北偏东、北偏西、南偏东、南偏西．如题中北偏东50°，不能写成东偏北40°；（3）对于45°方向角，东西方向为起始方向，要说东北、西北、东南、西南．如南偏东45°可以写成东南方向；（4）要真正理解方向角的含义的实质，这种表示方法在航海及测量中会经常遇到．
习题精选
1．同角或等角的补角____，同角或____的余角相等．
2．若 ， 与 互为余角，则 与的关系____．
3．如果 与 互余，则 ，若它们互补，则x的补角为_________．
4．如果 与 互为余角，并且比小20°，而与 互为补角，则 ．
5．已知与互补，若与的比是2：3，则 ．
6．如图， 与 都是直角，与 互余的角有______，若 ，则 ．
7．一个角的补角是它的5倍，则这个角的度数是________．
8．已知互为余角的两个角的差为20°，则这两个角的度数分别为_______和________．
9．下列说法正确的是（ ）
A．一个角既有余角又有补角，它的补角一定比其余角大 B．若 ，则 互补
C．把一个角分成两个角的射线，叫做这个角的平分线 D．若两个角相等，则这两个角的余角的补角也相等
10．锐角 的补角比它的余角（ ）
A．大90° B．小90° C．大 D．小
11．一个锐角的补角与这个锐角的余角之间的差是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．无法确定
12．若与互为补角，且 ，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
13．如果两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角一定是（ ）
A．必有一个是直角 B．都是直角 C．一个锐角，一个钝角 D．都是钝角
14．下列说法不正确的是（ ）
A．钝角没有余角，但一定有补角 B．两个角相等且互补，则它们都是直角
C．锐角的补角比该锐角的余角大 D．一个锐角的余角一定比这个锐角大
参考答案：
1．相等，等角 2．相等 3．34°，56° 4．35°，55°，125° 5．72°，108°
6． ，110° 7．30° 8．55°，35° 9．A 10．A 11．C
12．D 13．A 14．D |