知识导学

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．

有理数的比较实质上也是一种运算，只不过比较的运算相对其它的有理数运算要简单一些，我们在这里只做扼要的介绍．比较的时候只要记住下面的口诀就可以了：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．

下面我们给出有理数的相关运算法则及运算时要注意的问题．

1．有理数加法的法则：同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加为0；一个数和0相加，仍得这个数．

有理数的加法是有理数运算的重点，它比算术中的加法运算复杂，而且容易出错．

有理数加法法则是进行有理数加法的依据，进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号？是异号？或是有一个零，从而来确定用哪一条法则．求和时，先确定和的符号，然后利用绝对值，把有理数转化为非负数按小学加法或减法求大小，再写出结果．

有理数的加法满足交换律、结合律、进行有理数的加法运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用加法运算律，使计算简便．

2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b)因此在做加减运算时遇减化加．

把相反数的概念应用在有理数的减法法则中，就可把减法运算转代为加法运算，所以在有理数中，加减法是统一的．在算术里做减法运算时，被减数一定要大于或等于减数．现在学了有理数减法法则以后，因为有理数的加法运算是可以进行的，所以有理数减法运算也总是可以进行的．

对于有理数的加减混合运算：由于减法可以转化为加法，因此加减混合运算，都可以统一成加法运算．像这样把加减统一写成加法的式子，叫做代数和．代数和与算术的和的最主要区别就是代数和中的加数可以是负数．

在一个代数和中，加号可以省略不写，即(-10)+(+3)+(+4)+(+5)+(+2)可以写成-10+3-4+5+2,读作“负10、正3、负4、正5、正2的和”，又可以读作“负10加2减4加5加2”．可见在有理数的加减运算中 ，“+”“-”号可以当作运算符号，也可以当作性质符号．

因为有理数加减法可以统一成加法，所以进行有理数的加减混合运算时，可以运用加法交换律与结合律，但要注意在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．

3．有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘都得0．

有理数做乘法运算时，若其中有一个数为零，则其积也为零．若两个不为零的数相乘，则先确定积的符号(这与小学是不同的)，然后转化为绝对值相乘(即利用小学的乘法运算)．小学学过的乘法运算律，在有理数内仍然适用．

乘方是求相同因数的积的运算，它是特殊的乘法，所以乘方运算的结果幂的符号和有理数乘法的确定符号的方法完全相同．

底数为负数是，乘方运算容易写错，并且容易出现符号的错误，如读作(负3的四次方)，不要忘记括号，否则写成表示3的四次方的相反数，或读作“负的3的四次方”表示3的四次方的相反数，要注意二者的意义上的区别．

注意分数的乘方的写法，也要加小括号．单独一个数可以看作这个数本身的一次方(次数1省略不写)．

4．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数：．

小时已学过“乘积是1的两个数互为倒数”，在有理数范围内仍然这样定义．若两个有理数互为倒数，则符号相同，绝对值乘积为1．需要注意的是：零没有倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1．

由有理数的除法法则知，除法可以转化为乘法，即在有理数中乘除法是统一的．

5．有理数混合运算要注意运算顺序和运算律的使用．

有理数的运算，一般从高级到低级进行．在同一级运算中，按照从左到右的顺序运算．有括号时，括号一般从里向外进行．

　　思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小．

　　解：因为C点在1的右边，所以c>1，

　　因为A点在-1与之间，B点在与0之间，所以AB的距离大于而小于1，即

　　由同样的理由有，．所以 又ab>0,故

　　从而有 0<ab<b-a<c．所以

　　证明：方法1： ∵ a<b, ∴ b>a, ∴ b-a>0.

　　而

　　∴

　　∴

　　 　　　方法2：∵

　　∴ 即

　　∴ 又

　　∴即

故

　　解： （1）应用关系式 来进行“拆项”．

　　　　　原式

　　（2）∵

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　…

　　　　　 ，

　　∴ 原式=

　　或者用下面的“错位相减法”求和．

　　令 ，则

　　将这两式错位相减得

　　,即

　　再将这两式错位后式减去前式得

　　∴

　　思路与解：（1）直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1，所以原式=24690．

　　（2）四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示以简化计算．

　　设，则

　　原式=

　　说明：通过以上例题可以看到，用字母表示数或表示一个式子，常常可使计算简化．

　　解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2×1995-2984=1006（元）.

　　说明：用方程的观点解此题，思维更清晰，设购买物品i=1，2，3，4，5

　　则 ，①

　　②

　　由 2×①-② 得

　　.

　　需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙．

　　思路：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，......，分别配对的方式计算，就能得到一系列的-1．

　　解：

　　下面需对n的奇偶性进行讨论：

　　当n为偶数时，上式是个（-1）的和，

　　即 ；

　　当n为奇数时，上式是个（-1）的和，再加上最后一项，所以有

　　

　　说明：两种情况可以合并为：

　　

解法1：原式

解法2：原式