知识导学

方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并具有极其广泛的应用．从数学学科本身来看，方程是代数学的核心内容，它的发展推动了整个代数学的发展．代数方程一般按照其中未知数的个数和未知数的最高次数分类，一元一次方程是最简单的方程，也是所有代数方程的基础．解任何一个代数方程或方程组时最终都要化归为一元一次方程求解．一元一次方程的理解和掌握对于后续学习其他方程、方程组、不等式、函数等都具有重要的影响．因此，学习中应注意打好基础．

从算式到方程是数学的进步，算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法．用算术方法解实际问题是前面学段中已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力有着打基础的作用．算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只含已知数而不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母（未知数）．方程是根据问题中等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一．由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，所以方程的应用更为方便．这正是用字母表示数带来的好处．

使用平衡模型是解方程的一个很古老的方法，而且它为处理方程提供了一个强有力的智力图像．方程类似于一组天平，方程中的“=”表示天平处于平衡状态．通常我们可以画一个模型图来作为思考工具，但是某些例子中我们用一组真实的天平来代表方程也是可以扩大眼界的．由于物体的重量不可能为负的，可以用其他颜色来表示负数．在处于平衡状态的天平两边同时添加、减少相同重量的物体，天平仍保持平衡，方程也具有这种特性．

典型例题

利用方程的“平衡”性（实质上是等式的性质）解下列方程：

（1）；           （2）

利用天平模型表示方程，如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

两边同时加上-2（用白色圆柱表示），即．

整理后得到

为了简化操作过程，上述过程看作：将左侧的两个红色圆柱移到右侧，为保持天平平衡移过来的两个红色圆柱必须变成白色，一个白色和一个红色的圆柱重量和恰好是0，因此，右侧只剩下一个白色圆柱．方程也可以同样操作，即方程某一侧的一个项可以移到另一侧，并改变符号．

因此，可以采用“移项”、“合并”求解方程，如可变形，解得．“移项”时一定注意符号的改变．

随着学习的深入，方程的形式也越来越复杂，如含有括号、分母等．方程中的字母表示的是数，因此去括号法则与有理数运算中的去括号法则相同，去括号过程中一定要注意符号的变化规律．若方程中含有分母，首先通过“去分母”使方程的系数都化为整数，这样可以使解方程中减少分数运算，从而计算更为方便．

解一元一次方程时，主要依据等式的性质和运算律等，通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，使一元一次方程逐步向x=a的形式转化．求解中应灵活运用这些步骤．

利用以上方法求解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

习题精选

自己尝试做一做:

（1）某抗洪突击队有50名队员，承担着保护大堤的任务．已知在相同的时间内，每名队员可装土7袋或运土3袋．问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？

（2） 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做．剩下的部分需要几小时完成？

与下面的答案对比一下，看看你做得如何？

前面涉及的方程系数都是具体的数，我们探索一下字母系数的方程如何求解．

请尝试解一元一次方程：．

同学甲说：太简单了，．

同学乙说：不对，，不存在．

经过仔细研究发现：一元一次方程的解由、的值来确定：

（1）若，则方程有唯一解．

（2）若，且，方程变为，x为任意数都满足，则方程有无数多个解．

（3）若，且，方程变为，则方程无解．

请考虑以下问题：

问题1：解关于的方程．

分析：这个方程中未知数是，而、是取不同实数的常数，因此需要讨论、取不同值时，方程解的情况．

把原方程化为，整理得．

等式两边能不能同时除以（）？应该怎样处理？

（1）当，且时，原方程有唯一解；

（2）当，且时，方程无解；

（3）当时，方程的解为一切实数．

这个含有字母系数的方程的求解过程，提醒我们一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．

问题2：解方程．

分析：本题将方程中的括号去掉后产生项．但整理化简后，可以消去也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．

将原方程整理化简得：，

即．

（1）当时，即时，方程有唯一解；

（2）当 且  且 ，即时，方程无解；

（3）若，即，方程有无数多个解．

问题3：已知是关于的一元一次方程，求代数式的值．

因为是关于的一元一次方程，所以，即．

（1）当时，方程变为，因此，代数式的值为；

（2）当时，原方程无解．

所以所求代数式的值为1991．

问题4：已知关于的方程无解，试求的值．

将原方程变形为，即．

由已知该方程无解，所以

所以为所求．