知识导学

同学们都知道苏轼的《题西林壁》吧，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这首诗中存在一个数学问题：为什么同样的一个庐山，从不同的位置看会有不同的印象呢？

　　　　

经过前面的学习我们知道同样的一个立体图形从不同的角度和位置去看，会得出不同的平面图形，也就是说立体图形可以用平面图形以适当的方式表示出来．下面我们再看一个楼房的例子，从不同的角度去看楼房我们会得到不同的印象．

在买房时，我们可以从房子的平面图就可以知道房子的结构，从而决定是否买房．这说明有时候我们不需要看完全的立体图形，只需要看一下它的平面图形就可以做决策了，可以节省我们的时间．

 

家庭在装潢时总是请设计工程师先画出家具的图纸，这些事情说明现实生活、生产中离不开图形（立体与平面），而空间物体的立体图形需要通过平面图形从不同角度去刻画，这些都是我们今后数学课中要学习的．

 

我们所在的世界，是一个丰富多彩的图形世界．概括起来，图形可以分为立体图形和平面图形．对于立体图形的问题，我们要逐步学会将它们转化成平面图形的问题来解决，它包括：

1．展开与折叠

将一个立体图形的表面展开，就得到了一个平面图形；反过来，将一个平面图形折叠起来，就得到一个立体图形．我们既要会将一个立体图形展开得到它的各个面，也要会将一个平面图形折叠起来，想象出它的立体形状．

2．立体的切割

用一个平面去切割立体图形，会得到不同的形状的平面图形．此外，将一个立体图形按不同的要求分割成一些小的立体图形，也是我们要探讨的内容．

3．从不同方向看

从不同的方向看一个立体图形，看到的形状是不相同的．我们既要会从一个给定的立体图形想象出从不同方向看它时的不同形状；也要会从不同方向看它时的不同形状（三视图）想象出这个几何图形来．

分析与解答：想象将展开图折叠起来：先选择写有3的面为正面，则折叠后写有2的面为上面，写有4的面为左面，写有1的面为右面，写有2的面为下面，写有6的面为后面．故3相对面是6；4的相对面是1，5的相对面是2．

点拨：

1.此类将平面图形折叠成立体图形的问题，建议同学们在解答时先做一个模型，实际地折叠一下．这对培养自己的空间想象能力，是十分有益的．

2.正方体的展开图，一共有11种不同的情况．请大家试着画一画．

解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面．

这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样．因此，多面体的顶点总数为9×2=18（个）．

在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条．因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为19＋34÷2=36（条）．

综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+18＋36＝74．

点拨：关于多面体的顶点数（V），棱数（E），面数（F），数学家欧拉曾给出一个公式（欧拉公式）：V＋F-E＝2．

根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：

E=V＋F-2=20＋18-2=36（条）．

分析与解答：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．

（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体图形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图．

（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面．顶点：P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．

（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B、D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面．连好线的图形如上图．