知识导学

被誉为希腊代数学鼻祖的丢番图﹝公元246─330年﹞，在代数方程理论方面远远超出了他同时代的人．他曾在一本大约于4世纪时写的希腊文诗集上作了一首关于他生平的短诗﹝有的说是墓志铭﹞：“丢番图的一生，幼年占，青少年占，又过了才结婚，婚后5年之后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半”．求丢番图究竟活了多少年岁？

你能否利用算式求解？

如果设丢番图活了x岁，根据题目中的数量关系，可以列出方程：

，

可知x = 84． 

从这里你是否看到了方程求解的优越性？

一元一次方程﹝Linear Equation of One Variable﹞是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一的整式方程，它的标准形式为．

一元一次方程最早出现在莱因特草纸书中，现收藏在伦敦博物馆里，是由古埃及僧人阿默士所著的，全书共有85个题目．有些题目是属于一元一次方程的，如第11题是：“一个数的，加上这个数的，再加上它的，再加上这个数本身等于37，求这个数．”相当于解．

《方程》是我国《九章算术》中的第八章，它除了给出一次联立方程组的解法外，还使用了负数，这在数学史上具有重要的意义．  

一元一次方程首先是由阿默士用一大串符号表示的，经过三千多年的变化，到笛卡儿才形成现在的写法．至于解法也如此，阿默士是用算术的方法来解，古代数学家也曾用“试位法”来解，即先设是的两个猜测值，而是误差，则

若猜测值正确，误差等于零，否则由(1)、(2)之差可得

又(1)乘减去(2)乘，得

由(3)除(4)，得．

由原方程知，可得原方程的解为

． 

阿尔‧花拉子米及后来的阿拉伯数学家都曾用过此法，并将他们传入欧洲．17世纪以前，欧洲人认为此法是解决算术难题的万能方法，但实际上它早已包含在我国《九章算术》的《盈不足》一章中．

典型例题

或许你现在已经感受到从小学到中学，数学从算术学习转变为代数、几何以及概率统计的学习。仅看代数的变化，运算中数的范围扩大了，而且开始利用字母表示数，应用相应的“运算律”解代数方程和研究代数式。对于应用问题开始从小学的“算术解法”向中学的“代数解法”转变，下面通过具体的实例，比较两种方法的异同，从而进一步体会代数方法的优越性。

问题1：和尚吃馒头：这是明朝程大位《算法统宗》中所记载歌谣算题之一。

      一百馒头一百僧，

      大僧三个更无争，

小僧三人分一个，

大小和尚各几人？

此题的意思是：有100个馒头和100个和尚，大和尚每人3个，三个小和尚分1个，问大、小和尚各有几人？

由于思考的方法不同，可有不同的解法。

法一：假定各人吃的馒头数都增为原来的三倍，那么大和尚一人吃九个，小和尚三个人吃三个，一百人共吃馒头三百个。小和尚每人所吃馒头数等于人数，大和尚每人所吃馒头数比人数多8。今馒头数较人数多200，200是8的25倍，所以大和尚是25人，小和尚75人。

列式解答：

大和尚人数：，

小和尚人数：100-25=75，

法二：我们再换个角度考虑：大和尚1人吃3个，小和尚3人吃一个，合起来得大小和尚共4人，合吃4个，现在大小和尚共100人，合吃100个。由此可知大小和尚共4人中，有大和尚1人（占和尚总数的），所以大小和尚共100人中，必有大和尚25人（即）。列算式：

大和尚数：，

小和尚数：。

还可以有多种思考方法，自己尝试一下？

我们现在考虑用代数解法解决这个问题，设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人，根据题意得：

即

解得x=25（人）

即大、小和尚分别为25人和75人。

比较分析：本题算术解法中，根据题设特点，利用了特殊技巧，找出数量关系。这种解法虽然有效，但是关系的寻找不是很直接，不具有一般性，这也是算术解法的一个弱点，即同一个问题一种解法，缺乏一般通用性。而代数解法则不同，在本题中，只须设一个字母x代表大和尚（或小和尚）的人数，根据已知条件，很容易找出等量关系，就可列出方程。然后通过解方程求未知数x的值。可见，代数解法更具有一般性，这也是它优于算术方法之所在。

在前面的问题中，虽然分析比较了应用题的算术解法和代数解法的特点，但对两者的联系未作进一步探索，下面通过具体问题看一下。

问题2：设有5元和10元的人民币共12 张，共计85 元，问其中5元、10元的人民币各几张？

算术解法：假如全部是5元的人民币，则共计（元）。

与总和相差85-60=25元。

现在逐次用一张10元的人民币去换一张5元的人民币，使总张数保持不变，每换一次，总值将增加5元，那么换几次才能补足总差额25元呢？

只需要做一次除法就可以，即，

所以10元的人民币的张数是，

5元的人民币的张数是。

代数解法：

设10元人民币的张数为x，则5元人民币的张数为（12-x），根据题意可得方程：

解得   。

比较分析：在代数解法中，我们首先引入一个未知数x，表示问题中待求的量，然后把未知数代入问题中，寻找等量关系，列出方程，求出方程中的未知数x的值。

把两种解法加以比较可以看出，对于给定类型的问题，算术解法的准备工作是先做实验归纳工作，从而求得解决该类问题的公式。显然，这种方法是缺乏普遍性的。而代数解法的准备工作是引入未知数符号，把问题中的数量关系，特别是等量关系用代数方程表示出来，然后利用“等式性质”和“运算律”，求出方程中未知数的值，所以代数解法直截了当、简洁明快，具有普遍性。

算术解法的公式和理由，由问题的类型不同而不同。但代数解法的基本原理就是有效利用了“等式性质”和“运算律”，所以这种解法不仅具有普遍性，也具有统一性。

习题精选

1．根据题意设未知数并列出方程（不必求解）

（1）矩形周长是16 cm，长比宽多2cm，则这个矩形的长是多少？

（2）A、B两地相距50 km，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲每小时比乙多行2 km，若两人同时出发，经过3 h相遇，则甲、乙的速度分别为多少？

（3）某校社会实践活动小组，调查了高峰时段的某市的二环路、三环路、四环路的车流量：二环路车流量为每小时10 000辆，四环路比三环路车流量每小时多2000辆，三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍．则三环路，四环路的车流量各是多少？

2．国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．

    （1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？

    （2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？

3．甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？