知识导学

中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．

整式是多项式和单项式的总称．整式的乘法主要是多项式的乘法．而除法可以看成乘法的一个特例，所以我们把整式的乘法和除法放在一起研究．我们来看一下整式乘除法计算中的常用公式：

　　1．正整数指数幂的运算法则：

(1)； (2)(ab)ⁿ=aⁿbⁿ；

(3)(a^M)ⁿ=a^Mn； (4)a^M÷aⁿ=a^M-n(a≠0，m＞n)；

(5)

　　2．常用的乘法公式：

(1)(a+b)(a-b)=a²-b²；

(2)(a±b)²=a²±2ab+b²；

(3)

(4)(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³；　　

(5)(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．

3．同底数幂的除法法则：

一般地，我们有a^m÷aⁿ=a^m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).同底数幂相除，底数不变，指数相减.

例如：

(1)5⁵÷5³=3125÷125=25=5²,∴5⁵÷5³=5^5-3=5².

(2)10⁷÷10⁴=10000000÷10000=1000=10³，∴10⁷÷10⁴=10^7-4=10³.

(3)a⁶÷a³=a·a·a·a·a·a÷(a·a·a)= a·a·a= a³，∴a⁶÷a³=a^6-3=a³.

4．零指数幂：

a⁰=1(a≠0).

任何不等于0的数的0次幂都等于1.

说明：

(1)a⁰=1强调了a≠0，如果没有a≠0这个条件，这个结论不成立.

（2）a⁰=1是依据除法的意义推导得出的.

∵a^m÷a^m=1，且a^m÷a^m=a^m-m=a⁰，∴a⁰=1(a≠0).

5．单项式相除的除法法则：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

例如：12a³b²x³÷3ab²=(12÷3)(a³÷a)(b²÷b²)x³=4a²x³，(x-y)⁵÷(x-y)³=(x-y)²=x²-2xy+y².

6．多项式除以单项式的法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

说明：把多项式除以单项式问题转化成单项式除以单项式问题来解决.

具体可以这样去理解：(a+b+c)÷m=(a+b+c)×=a×+b×+c×=a÷m+b÷m+c÷m.

例如：(6ab+5a)÷a=6ab÷a+5a÷a=6b+5.

分析：先算乘方，再按单项式乘以单项式的法则进行运算，在计算中应注意系数及系数的符号，确定积的符号，避免出错．

解：（1）

；

（2）

．

说明：

（1）单项式乘法法则对于3个及3个以上的单项式相乘仍然适用．

（2）单项式的系数中既有分数，又有小数，一般把小数化成分数，便于约分．

（3）单项式的每一个因式不一定是一个字母，也可能是一个多个字母的积．

　　单项式与单项式相乘，结果还是单项式，进行单项式的乘法运算，实质上是运用了乘法交换律、乘法结合律、有理数乘法法则和幂的运算法则等知识．

分析：4个乘积式中，的系数都是1，两个因式中的常数项只是符号不同．发现的规律是：展开式中的二次项都是，一次项的系数等于乘积式中两个因式的常数项的和，常数项等于乘积式中两个因式的常数项的积，即

．

说明：一般规律都包含在特例中，所以研究特例，结合猜想，可揭示一般性本质．

分析：本例所考查的知识点是多项式除以单项式，运算时应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果．

解：

；

说明：（1）运算过程中不能漏项．（2）应注意各项的符号．

分析：本例是包含多种运算的算式，要按照先乘方、再乘除、后加减的顺序运算，乘除法是同级运算，按顺序计算就可以．

解：（1）

          （2）

说明：（2）题结果不能写成，应化简为才行．

错解：（1）；（2）1；（3）；（4）．

错解分析：错解（1）的原因是误认为同底幂相除，底数不变，指数相除，事实上应是底数不变，指数相减；

错解（2）的原因是漏掉的负号，实际上；

错解（3）的原因是运算顺序有误，先算了，实际上应按自左到右的顺序进行；

错解（4）的原因是误认为系数1÷2＝2，实际上．

正解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

参考答案：

1．D  提示：；；．

2．B  提示：．

3．D  提示：；；．

4．B  提示：．

5．A  提示：．

6．

7．

8．

9．

10．

11．50倍

参考答案：

12．解：．

13．解：由题可得被N整除被N整除，由P为任意自然数被N整除，所以，当；当，有；当时，还有，共有9个．

14．8；

15．；

16．

17．原式

18．

．

当时，．