三角形全等的证明是初中几何证明学习的开始，也是今后证明复杂几何命题的基础．平移、翻转、旋转是三种常见的全等变换，图形经过这三种变换，位置改变了，但图形的形状和大小都不变，即变换前后的图形全等．除了掌握这三种全等变换，证明三角形全等时，更重要的是熟练掌握和灵活应用证明三角形全等的三条公理和一条推论，以及直角三角形特有的斜边、直角边公理，结合已知条件和图形结构特征，寻找解题思路，培养解题能力． 我们已经学会判定两个三角形全等的方法有：边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），斜边、直角边公理（HL，只针对直角三角形）． 通过前面的学习我们发现证明两个三角形全等关键是：找对应角和对应边．证明时我们一般可以分三步走：（1）要证什么；（2）已有什么；（3）还缺什么． 三角形全等的证明题每年中考都有，且大都以单独的题目出现，如包含在综合题中，多以中难题出现，大家要重视它．寻找全等三角形对应边和对应角通常有以下几种方法： （1）全等三角形对应角所对的两条边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边一定是对应边； （4）有公共角的，公共角一定是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）． 证明角或边相等的思路：（1）平行线性质；（2）垂直定义；（3）三角形内角和定理和推论；（4）等量与等量之和相等，等量与等量之差相等． 在应用判定公理或推论证明两个三角形全等时，要正确书写证明过程：（1）写出在哪两个三角形中证明全等；（2）按公理或推论要求列出证明全等所需的三个条件；（3）写出结论． 判定三角形全等往往不是问题的最终目的，而是通过三角形全等来证明分属于两个三角形的角或线段相等． 利用全等三角形的性质证明线段和角相等；（本节要强化书写的规范） 文字题掌握画图、已知、求证的书写及证明过程； 当图形中找不到所求线段或角所在的全等三角形时，应考虑添加适当的辅助线． 用“分析”的方法来思考问题，是学习几何证明的重要内容之一． 本节要加强与前面所学全等三角形的判定方法的综合运用，正确选择方法证明三角形的全等的一般思路是： （1）如果有两条边对应相等，还应寻找它们的夹角或第三边对应相等； （2）如果有一个角和一条边对应相等，还应寻找另一个角相等； （3）如果有两个角对应相等，还应寻找一条边对应相等． 同时一定要记住：有三角对应相等的两个三角形不一定全等；有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； 在证明三角形全等时，要根据具体问题恰当选择判定方法；证明线段或角相等时，常常先证线段或角所在的三角形全等；当图形中找不到这些线段或角所在的全等三角形时，应考虑添加适当的辅助线． 例1．已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝52°，∠B＝34°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长． 例2．如下图，AB＝AC，D、E分别是AC、AB的中点．
求证：△ABD≌△ACE． 分析：因为△ABD和△ACE有一个公共角，因此要证明这两个三角形全等，只需再找一组对应边相等即可，这由中点条件不难得到． 例3．如图，AB∥CD，AB＝CD，DE＝BF．
求证：AE∥CF．（要证明平行，可通过内错角相等） 思考：如将图中△CDF沿FE方向平行移动，可能会出现下图中的几种情形，如例题中的条件不变，结论依然成立吗?若成立请分别给出证明，若不成立请说明理由．
点拨：在现阶段，要证两直线平行，往往从证明内错角（或同位角）相等入手，而要证两个角相等，要先观察它们分别位于哪两个三角形中，然后创造条件证明这两个三角形全等． 练习一、选择题 1.下列说法中正确的个数为( ) (1)所有的等边三角形都全等；(2)两个三角形全等，它们的最大边是对应边 (3)两个三角形全等，它们的对应角相等；(4)对应角相等的三角形是全等三角形 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法中，错误的是( ) A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的周长相等 C.面积相等的三角形全等 D.面积不等的三角形不全等 3.在△ABC和△A′B′C′中，如果满足条件( )，可得△ABC≌△A′B′C′. A.AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′ B.AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ C.AC=A′C′，BC=B′C′，∠C=∠C′ D.AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′ 4.如图所示，已知AB=CD，AD=CB，AC、BD相交于O，则图中全等三角形有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5.不能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.一条直角边及其对角对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，BC=BD，结果AC=3cm，那么AE+DE=( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 7.如图所示，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，则下面式子不能成立的是( ) A.DE=DC B.DE⊥AC C.∠CAB=30° D.∠EAF=∠ADF 8.具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是( ) A.一边和这边上的高对应相等 B.两边和第三边上的中线对应相等 C.两边和其中一边的对角对应相等 D.直角三角形的叙边对应相等 9.△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.1<AB<29 B.4<AB<24 C.5<AB<19 D.9<AB<19 10.下列三角形中，能全等的是( ) (1)一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形；(2)一腰和一个角分别相等的两个等腰三角形；(3)有两边分别相等的两个直角三角形；(4)两条直角边对应相等的两个直角三角形 A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(4) D.(1)(3)(4) 练习二、填空题 11.如图所示，OA平分∠BAC，∠B=∠C，则图形的全等三角形共有_____对，它们分别是__________.
12.如图所示，点C、F在BE上，∠1=∠2，BC=EF，请补充条件：___________(写出一个即可)，使△ABC≌△DEF.
13.如图所示，△ABC是直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACD重合，如果AP=3，那么PD=________.
14.如图，已知AC=DB，要使得△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是______.
15.如图，∠1=∠2，请补充条件___________(写一个即可)，使△ABC∽△ADE.
练习三、解答题 16.如图所示，在△ABC中，AB=AC，CE、BD是高，试证明CE=BD. 17.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B：∠C的值. 18.如图所示，已知AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE. 19.如图所示，已知△ACB、△FCD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AF的延长线与BD交于E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程. 20.如图所示，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC.求证：CE=CD. |
