知识导学
上图是海边独特景观“豆腐岩”的图片，引起它的形成原因是“岩石裂痕的钝角角平分线方向和锐角角平分线方向受力不同，经过海水的长期冲刷形成的天然规则形状”．地质工作者在分析它的形成原因时用到了“角平分线”的概念．
前面我们已经介绍过角的平分线的概念，从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；角的平分线可以看作到角两边距离相等的所有点的集合；角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹．这些是我们对角平分线的概念的理解，这里涉及到了一些集合、轨迹的概念，同学们可以作为了解，以后我们会学到．
还有就是角平分线的定理和它的逆定理，定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；逆定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．这里又涉及了逆定理的概念，同学们还是可以作为了解，但是这两个定理很重要，同学们要把它记住．
典型例题
例1．在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若DC=6，则D点到AB的距离是多少？
分析：由题意可画出如图所示的图形，∵∠C=90°，∴DC⊥AC.点D到AB的距离是线段DE的长，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DC=DE.
又∵DC=6，∴DE=6.
∴D点到AB的距离是6.
例2．如图所示，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB.求证EA=EB.
分析：欲证EA=EB，只需证明△ACE≌△BDE，而证明这两个三角形全等的关键是证明EC=ED，应用角平分线的性质易证.
证明：∵OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB.
∴EC=ED.∠ACE=∠BDE=90°.
在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDE（ASA）.
∴EA=EB（全等三角形的对应边相等）.
点拨：角的平分线的性质是证明线段相等的常见方法，也常常是证明两个三角形全等的铺垫，直接运用角的平分线性质证明线段相等要远比先证明这两个线段所在三角形全等，再证这两条线段相等简捷.
例3．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，求△DBE的周长.
解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，
∴AC=AE，DC=DE.又AC=BC，
∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.
又∵AB=10cm，
∴△DBE的周长=DB+BE+DE=10cm.
点拨：AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，结论不仅仅是“DC=DE”同时还有“CA=EA”“∠ADC=∠ADE”，这些结论后面经常用到.
习题精选
1.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证∠A+∠C=180°.
参考答案：
证明：∵BC＞BA
∴在BC上截取BP=BA，连接DP，如图所示.
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBP.
在△ABD和△PBD中，
∴△ABD≌△PBD（SAS）.
∴AD=DP，∠A=∠BPD（全等三角形的性质）.
又∵AD=DC，∴DP=DC.
∴∠C=∠DPC（等边对等角）.
又∵∠BPD+∠DPC=180°，
∴∠A+∠C=180°. 2.如图所示，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB.
(1)求证：D在∠BAC的平分线上；
(2)若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由.
参考答案：
证明：(1)∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS）.
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）.
∴点D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）.
(2)成立.理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA）.
∴BD=DC（全等三角形的对应边相等）. |