实数有多种分类方式，下面是其中的一种：

．

上述分类可以写成以下口诀：

我是一棵树，名字叫实数；

树上分两杈，有理无理住；

有理分两枝，整数与分数；

无理独自座，实在是特殊．

初中学习中，常见的无理数有三类：

第一类，π类，如π等；

第二类，开方开不尽的数，如等；

第三类，有规律但并不循环的无限小数，如1.121121112……等；

第四类，没有规律的无限小数．

无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限；③不循环．

无理数是不是都带根号？带根号的是不是都是无理数？

无理数不都是带根号的数，如π就是无理数；带根号的并不一定是无理数，如 等．

     是分数吗？

     关于这个问题的解答，我们应搞清楚分数的定义：分数的分子、分母应是整数或至少也能化为整数，由于π是无限不循环小数，无论它乘以一个什么样的非零整数都不能化为整数，所以不符合分数的定义，因此不是分数，而是无理数．

我们知道生活中广泛存在用有理数表示的数量，例如珠穆朗玛峰的海拔高度为8848m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m，2001年中国商品进出口总额比上2000年增长7.5%等等，这些数据都可以用数轴上的点表示．

整数很容易用数轴上的点表示出来，如在数轴上表示4．

分数也可以用数轴上的点表示，有些可以采用等分线段的方法，有时转化为小数形式在数轴上标出相应的点．如，．

无理数是无限不循环小数，如何在数轴上找到无理数对应的点？我们知道了如何在数轴上表示，在数轴上如何找到对应的点？

要在数轴上绘制对应的点，首先介绍后面学到的定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．即如直角三角形中，两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有．

(1) 作MO⊥Ox于点O，

(2) 在OM上截取OB=1，

(3) 以B点为圆心，以2为半径画弧，交x轴于、两点，

则就是表示，就是表示．

证明：在Rt△BO中，,所以

．

利用同样的方法，尝试一下在数轴上绘制出表示的点．

我们还可以按如下方式绘制．

思考：能否在数轴上画出表示的点吗？

动画演示

直径为1个单位长度的圆上一点A,从原点沿数轴向右滚动一周，当圆完全展开时，圆周上的点A再次在数轴上，此时数轴上的点A的坐标是．

其实我们能利用这种方法表示的无理数仅是其中的一部分，其他的无理数并不能这样准确地表示出来．通常采用转化为近似小数的形式在数轴上表示出近似点．

无理数可以利用数轴上的点表示，说明每一个实数都可以在数轴上用一个点表示，同样，数轴上的每一个点均表示一个实数．即实数与数轴上的点是一一对应的．

典型例题

例  已知实数a，b，c数轴上的对应点如下图，试化简：

解：∵实数a、b在数轴上的对应点在原点的左边，

∴实数a、b为负数，且b＞a

∵实数c在数轴上的对应点在原点的右边

∴实数c为正数

∵a＜0，b＜0，c＞0，b＞a

|a－b|=－(a－b)

|c－a|=c－a

∴原式=－a+(a－b)+(c－a)－(b－c)

=－a+a－b+c－a－b+c

=－2b+2c－a

说明：此题不仅综合运用了算术平方根、绝对值及数的大小比较等知识，而且还培养了数形结合的能力．解这类题时，首先要根据数轴上表示实数的点的位置来确定实数的正负，并要判断出它们之间的大小关系，然后再化简算术平方根或绝对值．