分形中的相似

我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花僚乱的满天繁星等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。

数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的图象多是一些圆锥曲线、线段组合，受认识主客体的限制，欧氏几何具有很强的“人为”特征：基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体．这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。留意一下我们生活的世界，竟是如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者美国数学家曼得勃罗（B·Mandelbrot）原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。曼德勃罗曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度，如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维（1维线性，2维平面，3维立体）。

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间（介于线性与平面之间）。

实际上，数学家们很早就认识到，有的曲线不能用欧式几何与微积分研究其长度。但那时解决办法是讨论具备什么条件的曲线有长度。而没有长度的曲线就没有深入研究。几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质就叫做自相似性。部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分形（fractal）。

1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal)这一概念。据曼德勃罗教授自己说，一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。

让我们再来看下面的一个例子。下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。

如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。

下图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。

不管你信不信，上面的这张月球表面的照片也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节。

下面是分形几何中最典型的几个例子：

（1）Sierpinski地毯：从一等边三角形开始进行迭代操作，将其四等分，去掉中心的那部分，无限重复这种操作，最终所得的极限图形就是Sierpinski垫片。Sierpinski垫片是如此的完美，著名的巴黎埃菲尔铁塔正是以它作为平面图。虽然铁塔并没有把分形进行到无穷，但是它已经体现了这项工程的精彩，即在不损害结构强度的条件下完成了重力的转移。

（2）Menger海绵：从表面上看，海绵立方块是:

（Menger）

一个立方体，是三维的，但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上，这时就是2维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的3维结构，其真实维数大于2.0而小于3.0。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性。

分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.

“世界是非线性的”，分形无处不在。分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界。当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构。例如，地学方面：海岸线，岛屿，国界，山谷，河流，路面等弯弯曲曲凹凸不平的形状；生物方面：人的肺，血管，人脑，表面形状，大多数树木花草地分岔结构；在宇宙方面：天体在宇宙空间中的分布，月坑的直径分布以及作为月坑成因地陨石和小行星的大小分布，空中的云块边界雪花的表面；在物理化学方面：物体的表面由细微粒子集聚成的凝聚体，闪电，多孔吸附材料的表面，蛋白质高分子的结构……分形学家说，自然界处处有分形，这从物体形态结构方面说明，世界本质上的非线性。

分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，并为之感动。分形使人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，它搭起了科学与艺术的桥梁。历史上笛卡尔和开普勒也是艺术家，前者是法国新时代小说的奠基人之一，后者写的登月科幻小说比凡尔纳的早得多，当然凡尔纳这位大师既懂艺术也懂科学。豪斯道夫不但在拓扑学上留下深深的足迹，也写过不错的剧本。列夫·托尔斯泰也懂得物理学和数学，并且编写过科学著作,还尝试将微积分运用到历史研究当中去。激素的想法首先是由法国作家巴尔扎克提出来的。卡罗尔的童话故事流露着新科学的天才猜想，并以更喜闻乐见的形式表达出来,流芳百世，其实他本来就是数学家和逻辑学家。至于达·芬奇、歌德和罗蒙诺索夫这样伟大的人物，我们甚至不好称他们是艺术家还是科学家。他们身兼二职，科学因素使他们的艺术更真实，艺术因素在他们的内心唤起自由和思想解放的精神。

分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。我们拥有的这个新几何，甚至可以描述变化的宇宙。站在这个巨人的肩膀上，我们可以实现许多原来被我们视为奇异或是不可能实现的东西，不觉中人们感叹原来世界可以这样—

由于分形能够用递推函数加以描述，所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比，可达1：1000，在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。由计算机模拟制作的山峰，也已被IBM公司应用于广告宣传中。分形的视觉效果更使分形装饰布和分形壁纸必将成为人们日后的新宠。分形明信片和分形广告已推出了十多年，分形日历也早已问世。

分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化，有一些科学家认为分形几何有助于他们理解被观察的正常活细胞的结构和组成癌组织的病细胞的结构。所以通过建立与健康的或患病的组织相像的分形生长模型，科学家们也能够了解存在于基因密码的控制生长的信息，以及如果这种生长结果的信息被破坏时，癌组织是如何发展的。

下面请大家欣赏一组神奇美丽的分形图：

美丽的四季

春：浸泡了奶油的光，涂上酣酣的花瓣，细腻而精致，芳香四溢，空气在叮当作响，有一种色彩醒了。