知识导学

一元二次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程．在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数，即求出这样的x与，使x=1，x+=b，x2-bx+1=0，他们做出()2；再做出，然后得出解答：+及-．可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式．但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的．

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b．

希腊的丢番图却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一．

在阿拉伯阿尔·花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等．把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法．阿尔·花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识．十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根．

韦达除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系．

在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式．我国《九章算术·勾股》章中的第二十题是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的．我国数学家还在方程的研究中应用了内插法．

一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，我们学习了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习指数方程，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义．

两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式，我们把形如（、、为常数，）称为一元二次方程的一般形式，其中、、分别称为二次项、一次项和常数项．、分别称为二次项系数和一次项系数．

为什么？如果，那么它的二次项就为零了，根据定义，它就不是一元二次方程了．、可以为零吗？根据定义，、可以为零也可以不为零．掌握了这两点．判断一个方程是不是一元二次方程就很简单了．判断一个方程是不是一元二次方程是很重要的，需要引起同学们足够的重视．

典型例题

例1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．

①　　②

③　　④

点拨：我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写二次项，再写一次项，最后是常数项．解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程．一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法．

　　例2． 方程（a2-2a-3）x2-(a-3)x+a=0是关于x的一元一次方程，求a的值．

　　点拨：可以说“只要a≠-1，原方程就是x的一元二次方程”吗？解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0把另一边分解因式的方法，小结如下：

   (1)

    (2)

    注意:

　　①配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握．配方时可以按下述方法进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同加一次项系数一半的平方．
    ②把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程．因为这是把方程降次的重要手段之一．

习题精选

　　练习一、选择题

　　1．方程 的解为（    ）

　　　　A．          B．         C．        D．

　　2．方程 的解为（    ）

　　　　A．     B． 　　C．    D．

　　3．方程 的实数根的个数是（    ）

　　　　A．0个        B．1个         C．2个          D．无数个

　　4．方程 的根是（    ）

　　　　A．              B．

　　　　C．             D．

　　5．对于形如 的方程，它的解的正确表达式为（    ）

　　　　A．都可以用直接开平方法求解，且

　　　　B．当 时，

　　　　C．当 时，

　　　　D．当 时，

　　练习二、填空题

　　　　6．若 ，则 的值是          ．

　　　　7．若方程 有解，则 的取值范围是         ．

　　　　8．方程 的解为         ．

　　练习三、用配方法解一元二次方程

　　1．用配方法解下列方程

　　　（1）          （2）

　　　（3）         （4）

　　2．用配方法将下列各式化成 的形式

　　　（1）           （2）

　　　（3）           （4）

　　练习四、用公式法解一元二次方程

　　1．用公式法解方程 ，得到（    ）

　　　A．      B． 　　　C．       D．

　　2．方程 化简整理后，写成 的形式，其中 分别是（    ）

　　　A．       B． 　　C．     D．

　　3．用公式法解下列方程

　　　（1） ；         （2） ；

　　　（3） ；        （4） ；

　　　（5） ；             （6） ；

　　　（7） ．

　　练习五、用因式分解法解一元二次方程

　　　1．方程 的根是         ．

　　　2．方程 的解是         ．

　　　3．方程 的解是         ．

　　　4．用因式分解法解方程

　　　　（1） ；        （2） ；

　　　　（3） ；       （4） ．

　　　5．用因式分解法解下列方程

　　　　（1） ；           （2） ；

　　　　（3） ；（4） ．

　　练习六、选择适当的方法解下列关于 的方程

　　　1.

　　　2.

　　　3.

　　　4.

　　　5.

　　　6.