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例1（2004·四省（区）：灵武、开福、曲沃、鸟海）如下图．
（1）先在左面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形，再将基础图形去掉或添上一部分，使新图形仍为轴对称图形，画在右面的方格纸上；
（2）先在左面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形，再将基础图形的一部分平移或旋转到剩余图形的某一位置组成新的图形，使新图形仍为轴对称图形，画在右面的方格纸上．
解析：本题考查对称作图．第（1）题可选择基本图形是圆，添加一部分或去掉一部分；第（2）题可选择基本图形为等腰梯形，活对称轴剪开并进行旋转，或将一个菱形的一半进行平移．当然，也可选择其他图形，只要符合题意即可．
答案：仅举以下两种．
（1）如图（1）．
（1）
 
（2） （3）
（2）①如图（2），基本图形为菱形．
②如图（3），基本图形为等腰梯形．
变式题：下图为人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离（我们不能直接量得）．请你根据所学知识．以卷尺和测角器为测量工具设计一种测量方案．
要求：（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用a，b，c，…表示；角度用α，β，γ…表了）；
（3）根据你测量的数据，计算A、B两棵树间的距离．
例2（2004·宁夏）如图，AB＝AD，BC＝CD，AC和BD相交于E．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个正确结论．（不要添加字母和辅助线，不要求证明）
结论1：
结论2：
结论3：
解析：由AB＝AD可得∠ABE＝∠ADE；由BC＝CD可得∠CDE＝∠CBE；由AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC可得△ADC≌△ABC，从而得∠DAE＝∠BAE，由等腰三角形“三线合一”性质可知AC⊥BD，BE＝DE，由此可得结论：如AC⊥BD，BE＝DE，∠ABE＝∠ADE等．
答案：结论1：AC⊥BD；结论2：BE＝DE；结论3：∠ABE＝∠ADE．
例3（2005·北京）用“ ”、“ ”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab＝a和a＝a b＝b．例如，32＝3，32＝2，则（20062005）（20042003）＝_________．
例4（200·北京海淀区）某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③完整叶片的最大长度，结果约为______cm．
解析：本题考查两个物体的相似．观察标本知，这种植物的叶片相似；由测得数据知，叶片①最大宽度与最大长度的比为1 ：2，叶片②最大宽度与最大长度的比为1 ：2，因此，我们可猜想叶片③的最大宽度与最大长度的比为1 ：2，从而求出叶片③的最大长度约为13cm．
答案：13．
例5 （2003·黄冈）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）．现找出其中的一种，测得 ， ，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．
分析：此题是一道立意很新的运用几何知识进行裁剪设计的应用题，且具有开放性和探索性．题目要求以画示意图的方法作答，解答的关键是确定扇形的圆心．可从圆心在△ABC的三个顶点上和圆心在△ABC的三边上两个角度来考虑．
解：可以设计四种方案（如下图）．
例6（2003·江西）甲、乙两同学做“投球进筐”游戏．商定：每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推，但最多只能投6次，当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未投进时，该局也结束．并记为“×”．两人五局投球情况如下：
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第一局 |
第二局 |
第三局 |
第四局 |
第五局 |
甲 |
5次 |
× |
4次 |
× |
1次 |
乙 |
× |
2次 |
4次 |
2次 |
× |
（1）为了计算得分，双方约定：记“×”的该局得0分，其他局得分的计算方法要满足两个条件：
①投球次数越多，得分越低；②得分为正数．请你按约定的要求，用公式、表格、语言叙述等方式，选取其中一种写出一个将其他局的投球次数n换算成得分M的具体方案；
（2）请根据上述约定和你写出的方案，计算甲、乙两人的每局得分，填入牌上的表格中，并从平均分的角度来判断谁投得更好．
分析：本题文字较多，要求学生具有一定的阅读理解能力，综合考查了函数的思想、表示方法、数学建模的能力及平均数的意义．本题的开放性及解法的多样化，为学生的探索创造了一个广阔的空间．
有许多方案．这里只给出三种．
解法1：（1）其他局投球次数n换算成该局得分M的公式为M＝7－n．
（2）
|
第一局 |
第二局 |
第三局 |
第四局 |
第五局 |
甲得分 |
2 |
0 |
3 |
0 |
6 |
乙得分 |
0 |
5 |
3 |
5 |
0 |
故以此方案来判断：乙投得更好．
解法2：（1）其他局投球次数n换算成该局得分M的公式为 ．
（2）
|
第一局 |
第二局 |
第三局 |
第四局 |
第五局 |
甲得分 |
12 |
0 |
15 |
0 |
60 |
乙得分 |
0 |
30 |
15 |
30 |
0 |
故以此方案来判断；甲投得更好．
解法3：（1）其他局投球次数n换算成该局得分M的方案如下表：
n（投球次数） |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
M（该局得分） |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
（2）
|
第一局 |
第二局 |
第三局 |
第四局 |
第五局 |
甲得分 |
2 |
0 |
3 |
0 |
6 |
乙得分 |
0 |
5 |
3 |
5 |
0 |
故以此方案来判断：乙投得更好．
例7 （2004·济南）某教育部门为了研究城市独生子女人格发展状况，随机抽取某地区300名中学生和300名中学生家长进行了调查．下面是收集有关数据汇总后绘制的两个统计图；
观察上面的统计图，回答下面问题：
（1）在被调查的300名学生中，有多少人“缺乏生活自理能力”？（结果取整数）“经常陪着孩子做功课”的家长占被调查的300名家长的百分比是多少？
（2）若该地区独生子女家长有10万人，请估计有多少家长“为孩子安排课余学习内容”？
（3）从上面的两个统计图中，你还能发现哪些信息，根据你发现的信息提出一个问题．
分析：此题为一道统计方面的题目．关键要理解题意．真正读懂有关信息，再加以计算．
解：（1）“缺乏生活自理能力”的学生数为300×20.67％≈62（人）．
“经常陪养孩子做功课”的家长占被调查的300名家长的百分比为129÷300＝43％．
（2）估计10万独生子女家长中“为孩子安排课余学习内容”的家长为 （万）．
（3）只要能根据两个统计图提供的信息，写出一个能解决的问题即可（不解答）．
例8（2003·昆明）操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合）使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．
探究：（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；
（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？
分析：通过操作不难画出下面的图形．本题主要考查直角三角形的判定，相似三角形的性质．解题关键是通过操作画出图形．
解：（1）如图（1），另一条直角边与AD交于点E，则△PDE∽△BCP．在△PDE和△BCP中，∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．又∠PDE＝∠BCP＝90°，∴△PDE∽△BCP．
（1） （2）
或：如图（2），若另一条直角边与BC的延长钱交于点E，同理可证△PCE∽△BCP．
或：如图（2），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△BPE△BCP．
（2）如图（3），当点P位于CD的中点时，若另一条直角边与AD交于点E，则 ．
又∵△PDE∽△BCP，
∴△PDE与△BCP的周长比为1 ：2．
（3） （4）
或如图（4），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△PCE与△BCP的周长比是1 ：2．
或：若一条直角边与BC的延长钱交于点E，
 又△BPE∽△BCP，
∴△BPE与△BCP的周长比是 ．
练一练
一、选择题
1．（2003·黑龙江）将一长方形纸片按如下图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
2．（2003·陕西）将一张矩形纸对折再对折（如下图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
Ｄ
3．（2004·山西）一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如下图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（ ）
A． B． C． D．
C
4．（2003·北京）某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系，就此他与同学们选择了一种类型的体温计，经历了收集数据、分析数据、得出结论的探索过程．他们收集到的数据如下：
体温计的读数t（℃） |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
水银柱的长度l（mm） |
56.5 |
62.5 |
68.5 |
74.5 |
80.5 |
86.5 |
92.5 |
98.5 |
请你根据上述数据分析判断，水银柱的长度l（mm）与体温计的读数t（℃）（ ）之间存在的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
B
二、解答题
1．（2003·山西）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步；先把短形ABCD对折，折痕为MN，如下图（1）；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得 ，如下图（2）；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如下图（3）．
利用展开图（4）探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
1．（1）解：△AEF是等边三角形．
证法1：如图，由平行线分线段定理知PE＝PA，
 是斜边上的中线，
又 而 ，
 ．
在中， ，
 ，
 是等边三角形．
证法2： 与 完全重合，
 ≌， ．
由平行线等分线段定理知 ，
又 ， ≌ ，
 ．
是等边三角形．
（2）不一定．
由上推证可知当矩形的长恰好等于等边 的边AF时，即矩形的宽：长＝AB ：AF＝ 时正好能折出．
如果没矩形的长为a，宽为b，可知
当 时，按此法一定能折出等边三角形；
当 时，按此法无法折出完整的等边三角形．
2．（2005·河北） 对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按下图（1）所示的方式摆放，再沿虚线BD、EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为下图中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：
（1）
①四边形BNED是正方形；
② ．
（1）对于边长分别为a、b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图（2）所示的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．
（2）
①证明四边形MNED是正方形，并用含a、b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在上图中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED．请简略说明你的拼接方法（类比图（1），用数字表示对应的图形）．
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．
2．解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．在Rt△ADM与Rt△CDE中， ，又 ，
 ． ≌ ．
 ．∴四边形MNED是正方形．
 ，∴正方形MNED的面积为 ；
②过点N作NP⊥BE垂足为P，如下图．可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等．所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．
（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，……依此类推，由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形
3．（2004·浙江温州）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如下图），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n |
100 |
150 |
200 |
500 |
800 |
1000 |
落在“铅笔”的次数m |
68 |
111 |
136 |
345 |
564 |
701 |
落在“铅笔”的频率 |
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（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少（精确到1°）？
3．解：（1）
转动转盘的次数n |
100 |
150 |
200 |
500 |
800 |
1000 |
停在“铅笔”的次数m |
68 |
111 |
136 |
345 |
564 |
701 |
停在“铅笔”的频率 |
0.68 |
0.74 |
0.68 |
0.69 |
0.705 |
0.701 |
（2）当n很大时，停在“铅落”的频率将会接近0.7；
（3）获得铅笔的概率约是0.7；
（4）圆心角的度数为 ．
4．(2004·济南)如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
（2）用这个图形证明勾股定理．
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．
4．解：（1）图形规范、正确；直角梯形．
（2）
整理，得 ．
（3）拼出能证明勾股定理的图形．
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