知识导学

不等式的几个考查点：不等式的性质；结合数形结合思想理解一元一次不等式（组）解集的含义；解不等式（组），并求其特殊解；解决实际问题会将其建立为不等式（组）的模型，同时关注其求解的过程，解的准确性及解释的合理性．

用不等式的基本性质判断由一个不等式变形为另一个不等式是否正确，这里易错的是不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向，尤其要注意隐含条件中的负系数；解一元一次不等式（组）并在数轴上正确表示解集，反之，结合数轴上的表示写出不等式（组）的解集，要注意空心点与实心点的区别．

利用不等式解决应用型问题，是当前一个十分值得关注的问题，其解题思想与列方程解应用题类似，要明确“不超过”“至少”“不多于”等描述不等关系词语的含义．

整式方程的考查点主要有一元一次方程（ax＝b，a，b为常数，a≠0）和一元二次方程（＋bx＋c＝0，a，b，c为常数，a≠0）的有关知识，另外还涉及到二元一次方程的特殊解问题和简单的高次方程的求解问题．

在理解等式的概念，掌握等式的基本性质的基础上，体会方程的解的含义．会运用等式性质对一元一次方程进行合理而有效的变形，从而求出方程的解，会检解的正确性．解方程时注意技巧，有些方程的特征适合巧解．在对一元一次方程进行变形时，应注意易发生的错误，如去分母时漏乘不含分母的项，去括号时漏乘括号内的项和变号问题，移项时不变号等．

    对于一元二次方程，要灵活运用开平方法、配方法、因式分解法和公式法解方程．掌握一元二次方程的一般形式（＋bx＋c＝0，a≠0），注意在用因式分解法和公式法解一元二次方程时，应先把方程化为一般形式，确定a，b，c的值．

    对于高次方程，只研究比较简单而且特殊的高次方程，主要采取换元方法达到降次的目的，从而使问题得以解决．

    一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式为△＝：△＞0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△＜0方程无实数根．

    通常说方程有实数根指的是两种情况，合写在一起就是△≥0．当△≥0时，一元二次方程有实数根，设这两个根分别为，，则有，．运用这些知识，可以不解方程就能判断一元二次方程根的情况，确定字母系数的值或取值范围以及字母系数间的关系．运用根的判别式和根与系数的关系时，要把一元二次方程化为一般形式．注意：运用根的判别式应将二次项系数a≠0作为条件，运用根与系数关系时方程必须存在实数根，即将△≥0作为前提条件．

    分式方程的考点主要有解分式方程、检验增根问题和分式方程的应用．分母中是否含有未知数是区分整式方程和分式方程的一个标志．解分式方程主要有两种方法：一种是通过去分母将方程转化为一元一次方程或一元二次方程这样的整式方程来解；另一种是具备一定特点的分式方程可以用换元法来解．使用换元法时，要善于发现方程的特征，寻找系数与未知数次数的特征，搞清系数的位置．换元法常用的有平方型和倒数型，以及通过简单的变形可以转化为平方型和倒数型．注意：由于在去分母的过程中，两边同乘的最简公分母可能为零，从而使未知数的取值范围扩大而有可能产生增根，所以解分式方程要验根．验根可以代入原方程，也可以代入最简公分母，使原方程分母和最简公分母为零的根是方程的增根．

    方程组主要涉及一次方程组和二次方程组．要求灵活选择并运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组和三元一次方程组，通过消元转化为一元一次方程再求解．二次方程组包括：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组．基本解法是通过消元，转化为解一元二次方程，或降次转化为解二元一次方程组，解方程组时，整体代入和整体求值比较常用．方程组的解适合于方程组中的每一个方程．

    列方程（组）解应用题是解决实际问题的一种有效途径．根据具体的应用题，可以选择列一元一次方程、一元二次方程、分式方程和二元一次方程组、三元一次方程组．应用题常见的题型有工程问题、行程问题、数字问题、物品调运问题、人员调动问题、平均增长率问题、利润问题、利息问题等．每种题型也不完全是孤立的，其中有些题型的解题思想有相似之处，如工程问题和行程问题．近年来中考考查的实际问题多贴近生活，而且立意新颖，设计巧妙，所以决不能靠死背题型，要具体分析每一题的实际情况．一般来讲，应注意以下问题：（1）认真读题，分析清楚问题的背景；（2）根据题意分析获得信息，将信息通过列表或分类的形式罗列出来；（3）设适当的未知量并根据题型中的基本数量关系列出相应的代数式；（4）寻找等量关系并列方程（组）；（5）解方程（组）；（6）检验：既要检验所求得的值是否为方程（组）的解，还要检验解是否符合题意；（7）作答．不同的题型要选择列不同的方程（组），如连续增长率问题常列一元二次方程，行程问题和工程问题多采用一元一次方程、分式方程和二元一次方程组．无论应用题的命题背景、命题角度有多少变化，但命题的立意核心还是在于考查学生的基本能力、应用意识和实践能力．

生活中的很多问题的解决都体现了“问题情境—建立数学模型—解释应用并拓展”的模式，方程和不等式就是研究现实世界数量关系的两种重要的数学模型．近年来中考出现的一些实际问题已不满足于一题单独考查方程（组）或不等式（组），那些独具匠心的设计使考查问题既涉及方程（组），同时兼顾不等式（组），方程和不等式的综合运用以及在特定的条件下会相互转化的问题也就受到了越来越多人的关注．

典型例题

例1  （2003.陕西）某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是510元，本季度销售了件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本．经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高10％，要使使销售利润（销售利润＝销售价－成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？

例2 （2003.孝感）一牛奶制品厂现有鲜奶9吨．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1吨鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1吨鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两种产品不可能同时生产．为保证产品质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？

例3（2003.泰安）关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（    ）

A．

B．

C．

D．

例4 （2003.重庆）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________．

例5 （2003.南京）一个长方形足球场的长为宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560，求的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．

（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间）

例6 （2003.泰州）某校带行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个．学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：

（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少格式化 多少钱买奖品？

（2）学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需要多少钱？

例7 光明中学九年级甲、乙两班在“希望工程”捐款活动中，捐款的总数相同，均多于300元且少于400元．已知甲班有一人捐6元，其余每人都捐9元；乙班一人捐13元，其余每人都捐8元，求甲、乙两班学生总人数共是多少人？

习题精选

一、选择题

    1．（2004.山东泰安）某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为，则依题意列方程为（    ）

    A．

    B．

    C．

    D．

    2．（2005.陕西）一件商品按成本价提高40％后标价，再打8折（标价的80％）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（    ）

    A．

    B．

    C．

    D．

3．（2003.黑龙江）若，则的聚会范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．（2003.山西）命题“是实数，若，则”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，以下四种改法：

（1）是实数，若，则；

（2）是实数，若且，则；

（3）是实数，若，则；

（4）是实数，若且，则．

其中真命题的个数是（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

5．（2003.烟台）不等式的解集是，那么的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

1．（2003.哈尔滨）抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格元的过氧乙酸消毒液提高20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价后下降15％，那么现在每桶的价格是_________元．

2．（2003.广西）国家规定存款利息的纳税标准是：利息税＝利息×20％；如果银行一年定期储蓄的年利率为2.25％，某储户在取出一年到期的本金及利息时，交纳了利息税9元，则该储户一年前存入银行的钱为________元．

3．（2005.山东滨州）在克糖水中含有克糖，现再加入克糖，则糖水变得更甜了．这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式，则这个不等关系式为_______．

4．（2003.潍坊）有10位菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩．已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．

三、计算题

1．（2004.上海）求不等式组的整数解？

2．（2005.山东）不等式组的解集是，求的取值范围．

四、解答题

    1．（2005.武汉）武汉江汉大桥维修工程中，拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目．从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合做24天恰好完成；若两个工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：

（1）甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？

    （2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？

    2．（2004.大连实验区）4×100m接力赛是学校运动会最精彩的项目之一．下图中的实线和虚线分别是初三·一班、初三·二班代表队在比赛时运动员所跑的路程与所用时间的函数图象（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）．

问题：

    （1）初三·二班跑得最快的是_____接力棒的运动员．

    （2）发令后经过多长时间两班运动员策一次并列？

3．（2004.安徽）某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元．若要求每种广告播放不少于2次．问：

  （1）两种广告的播放次数有几种安排方式？

  （2）电视台选择哪种方式播放收益较大？

4．（2004.吉林）小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算．

    5．（2004.南宁）某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：

  （1）假设甲种饮料需配制千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集．

  （2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为元，请写出与的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？

    6．（2004.青岛）水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平．为了节约用水，保护环境，学校于本学期初便制定了详细的用水计划．如果实际每天比计划多用1吨水，那么本学期的用水总量将会超过2300吨；如果实际每天比计划节约1吨水，那么本学期用水总量将会不足2100吨．如果本学期的在校时间按110天（22周）计算，那么学校计划每天用水量应控制在什么范围？（结果保留四个有效数字）