知识导学

    　1．坐标系

（1）象限的划分

    　横、纵坐标把坐标平面划分为四个象限．设点P（x，y）在坐标平面内，则

    　点P在第一象限x＞0，y＞0；

    　 点P在第二象限x＜0，y＞0；

    　点P在第三象限x＜0，y＜0；

    　点P在第四象限x＞0，y＜0；

    　点P在x轴上y＝0；

    　点P在y轴上x＝0；

    　点P在坐标原点x＝0，y＝0．

    　注意：横轴、纵轴（包括坐标原点）不属于任何象限．

    　（2）求点的坐标；由点的坐标描点

    　设P为坐标平面内一点，由点P向两坐标轴引垂线，x轴上垂足所对应的实数a和y轴上垂足所对应的实数b，分别为点P的横坐标和纵坐标，记作P（a，b）；如果已知点P的坐标为（a，b），需在坐标平面内描出点P，则可逆向操作．

    　（3）点P（x，y）的坐标的几何意义
　　①点P（x，y）到x轴的距离是；

　　②点P（x，y）到y轴的距离是；

　　③点P（x，y）到原点的距离是．

    　注意：如果已知点P到两坐标轴的距离，还需根据点P在坐标平面内的相对位置，才能确定其坐标的符号．

    　（4）求对称点的坐标

    　 ①点P（x，y）关于x轴的对称点是（x，－y）；

    　 ②点P（x，y）关于y轴的对称点是（－x，y）；

    　 ③点P（x，y）关于原点的对称点是（－x，－y）．

（5）要清楚坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系．

2．变量与函数

（1）常量和变量有时是相对的

    在不同的研究过程中，作为常量和变量的角色是可以相互转换的．例如：在研究行程问题时，当路程s是定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，则在这个过程中，s是常量，v与t是变量．同样，如果t是常量，则v与s是变量；如果v是常量，则t与s是变量．

    　（2）函数的概念揭示了在某一变化过程中的两个变量x，y之间的对应关系，即对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，这时y才是x的函数，x是自变量．例如y=是函数，而y=就不是函数．

    　（3）确定函数自变量的取值范围，要遵循两个有意义原则：

    　①用解析式给出的函数，要遵循含自变量的代数式本身有意义的原则；

    　②以实际问题为背景的函数，要遵循函数能保证实际问题有意义的原则．

    　（4）表示函数通常有三种方法：

    　①解析法；②列表法；③图象法．

    　这三种方法各有所长，解析法简明准确；列表法一目了然；图象法形象直观．

（5）画函数图象一般有三个步骤：

　①列表；②描点；③连线．

    　（6）函数解析式与该函数图象之间存在着一一对应的关系．事实上，坐标满足函数解析式的所有点的集合，构成这个函数的图象．这句话包含两层意思：

　①坐标满足解析式的点，都在这个函数的图象上；

　②反之，函数图象上的点，坐标都满足这个函数的解析式．

　3．正比例函数、一次函数、反比例函数

    　（1）函数解析式

    　正比例函数：y＝kx（k≠0）；

    　一次函数：y＝kx＋b（k≠0）；

    　 反比例函数：y＝（k≠0）．

    　注意：一次函数包含正比例函数，正比例函数是一次函数的特例（即b＝0时）．

    　（2）函数的图象

    　一次函数的图象是一条直线，其中：

   　 y＝kx的图象经过（0，0），（1，k）两点；的图象经过（，0），（0，b）两点．

    　 反比例函数的图象是双曲线．

    　注意：①对于函数y＝kx（k≠0）与函数y＝kx＋b（k≠0，b≠0），如果两式中的k取相同实数，那么它们的图象是平行关系．例如y＝2x与y＝2x＋1这两个函数，在画y＝ 2x＋1的图象时，相当于把y＝2x的图象（整体）向上平移1个单位．事实上，把直线y＝kx向上（b＞0）或向下（b＜0）平移个单位，就会得到直线y＝kx＋b．

    　 ②k与b的符号将直接决定直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的相对位置．事实上：

    　（Ⅰ）k＞0，b＞0直线经过第一、二、三象限（如图（a））；

    　（Ⅱ）k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限（如图（b））；

    　 （Ⅲ）k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限（如图（c））；

　　 （Ⅳ）k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限（如图（d））．

  　（3）函数的性质一次函数（包括正比例函数）y＝kx＋b的性质：

   　 ①当k＞0时，y随x的增大而增大；

    　②当k＜0时，y随x的增大而减小．

    　反比例函数y＝的性质：

    　①当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小（如图（a））；

②当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大（如图（b））．

    　注意：①我们已经知道函数解析式与其图象是一一对应的关系，所以函数图象能形象直观地反映函数的性质．利用图象去研究函数的性质，是一个很好的数形结合例证；

    　②描述反比例函数的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则会出现错误（读者可自己领悟）．

    　 （4）函数解析式的求法

　一般采用待定系数法，实际问题中也可以由题意直接列出来．

4．二次函数

    （1）解析式有三种形式．其内在关系如下：

其中①式为一般式；②式中令，有即为顶点式，其中点（h，k）为抛物线顶点；③式中令，，有即为交点式，其中，为抛物线与x轴两个交点的横坐标．

    　注意：求二次函数解析式时，要根据条件灵活选设一种解析式．

   　（2）二次函数的图象是抛物线．

    　 注意：a，b，c在图象中都起一定作用，其中：

    　 ①a决定抛物线开口方向及开口大小；

    　②b和a共同决定抛物线顶点的左、右位置（对称轴位置），即顶点横坐标为（对称轴为直线）；

    　③c与a，b共同决定抛物线顶点的上下位置，即顶点纵坐标为，同时c还决定抛物线与y轴交点的位置，即交点为（0，c）．

    　（3）任意抛物线都可以由抛物线经过适当平移得到．

    　 注意：①左、右平移看h，h＜0时向左平移-h个单位；h＞0时向右平移h个单位；

    　 ②上、下平移看k，k＜0时向下平移-k个单位；k＞0时向上平移k个单位．

    　（4）二次函数的性质

    　 当 a＞0（a＜0）时，①抛物线的开口向上（下），并向上（下）无限延伸；②在对称轴的左侧，即当x＜时，y随x的增大而减小（增大）；在对称轴的右侧，即当x＞时，y随x的增大而增大（减小）；③抛物线有最低（高）点，当x=时，y有最小（大）值．

    　（5）二次函数与一元二次方程有密切关系：

    　 ①当△＞0时，方程有两个不相等实根．抛物线与x轴有两个不同交点．若，为方程的两根，则交点为（，0），（，0）；

    　 ②当△=0时，方程有两个相等实根．抛物线与x轴交于顶点（，0）；

　　 ③当△＜0时，方程无实根．抛物线与x轴无交点．

典型例题

例1 （2003.河南）若点与关于原点对称，则关于的二次三项式可以分解为_________

　　例2  （2003.潍坊）已知点在第二、四象限角平分线上，则a等于________．

　　例3 （2004.山西）若用图中（l），（2），（3），（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象所给顺序，将下面的（a），（b），（c），（d）对应排序．

    （a）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）

    （b）一个弹簧不挂重物到逐渐控重物（弹簧长度与所控重物的重量的关系）

    （c）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）

    （d）小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）．正确的顺序是（）

    A（c）（d）（b）（a）

    B（a）（b）（c）（d）

    C（b）（c）（a）（d）

    D（d）（a）（c）（b）

例4 （2003.甘肃）在梯形ABCD中，，，AB＝2，BC＝3，AD＝4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）．设BP为，四边形PEFC的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．

例5 （2005.青海）如图，点在一次函数的图象上，图象与轴的交点为B，那么的面积为______________．

    　例 6 （2003.南京）如图，直线与x轴y轴分别交于点M、N．

    （1）求M、N两点的坐标；

    （2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心、为半径的圆与直线相切，求点P的坐标．

例7 （2003.河南）已知点在函数的图象上，则下列关系式正确的是（）

A．    B．    C．    D．

例8 如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记的面积为，的面积为，则（）

A．    B．    C．    D．和的大小关系不能确定

例9 （2003.潍坊）已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点是A（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式．

例10 （2005.河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为y（元）．

    　（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；

    　（2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；

（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

习题精选

一、选择题

1． （2005.陕西）甲、乙两同学从 A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图14所示．根据图中提供的信息，有下列说法：

图14

（1）他们都行驶了18千米；

（2）甲在途中停留了0.5小时；

（3）乙比甲晚出发了0.5小时；

（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；

（5）甲、乙两人同时到达目的地．

其中符合图象描述的说法有（）

    A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

2．（2003.河北）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）

  A．直线上        B．直线上

  C．抛物线上     D．双曲线上

3．（2005.北京）如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）

4．（2004.北京东城）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则该点一定在（）

A．直线上

B．抛物线上

C．直线上

D．双曲线上

5．（2003.河南）已知h关于t的函数关系式为（g为正常数，t为时间）则函数图象为（）

6．（2005.湖南湘潭）如图，抛物线的图象与x轴的一个交点是（－2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（）

      A．抛物线的对称轴是

      B．抛物线的开口向下

      C．抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）

      D．当时，y有最大值3

二、填空题

1．（2003.山西）已知点和关于轴对称，则的值为_______．

2．（2003.桂林）在直角坐标系有两点、，如果点C在轴上（C与A不重合），当点C 的坐标为________或_________时，使得由点B、O、C组成的三角形与相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．

3．（2003.济南）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则这个函数的解析式为_____________．

4．（2005.安徽）写出一个图象经过点（－1，－1），且不经过第一象限的函数表达式_________．

5．（2003.上海）在平面直角坐标系内，从反比例函数的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是__________．

三、解答题

1．某人从A城出发，前往离A城30千米的B城．现在有三种车供他选择：①自行车，其速度为15千米/小时；②三轮车，其速度为10千米/小时；③摩托车，其速度为40千米/小时．

（1）用哪些车能使他从A城到达B城的时间不超过2小时，请说明理由．

（2）设此人在行进途中离B城的路程为s千米，行进时间为t小时．就（1）所选定的方案，试写出s与t的函数关系式（注明自变量t的取值范围），并在图所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象．

2．（2005.四川自贡）观察函数图象，并根据所获得的信息回答问题（如图）：

  （1）折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；

  （2）根据你所给出的应用题，分别指出x轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；

  （3）求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．

3．（2004.福州）如图，、分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间x小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．

  （1）根据图象分别求出、的函数关系式；

  （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

  （3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）．

4．（2004.山东临沂）某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

（1）建立如图,所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 

（2）此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

5．（2004.青岛）某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．

  （1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；

  （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？