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知识导学
要点解析
1．四边形
（1）定义：在一个平面内，不在同一直线上的四条线段首尾顺次相连组成的图形叫做四边形．
（2）四边形的对角线：四边形的对角线是指连接不相邻两个顶点的线段．
（3）四边形的内角和与外角：四边形有四个内角，内角和是360°．四边形的外角和是指四边形的角的一边与另一边的延长线所组成的角．
（4）四边形的不稳定性：
和三角形的稳定性相比，四边形具有不稳定性，在生产和生活中有广泛的应用．
（5）多边形的内角和：
在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．n边形的内角和等于（n－2）·180°．
2．平行四边形
（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）性质：①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形内角和为360°，外角和360°；③邻角互补，对角相等；④对角线互相平分；⑤夹在两条平行线间的平行线段相等．
（3）平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．
（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
（5）平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．矩形
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）性质：①矩形具有平行四边形的所有性质；②矩形的四个角相等都是90°；
③矩形的对角线相等；④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（3）判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
4．菱形
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）性质：①菱形具有平行四边形的所有性质；②菱形的四条边相等；③菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．
（3）判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（4）面积：①用平行四边形面积的计算方法；②当a，b分别表示两条对角线长时， ．
5．正方形
（1）定义：正方形定义有两层意义：①有一组邻边相等的平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形，即正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、特殊的菱形，正方形既是矩形，也是菱形．
（2）性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（3）判定：①先证这个四边形，再证矩形有一组邻边相等；
②先证四边形是菱形，再证菱形有一个角是直角．
6．梯形
（1）定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（2）等腰梯形
①定义：两腰相等的梯形是等腰梯形．
②性质：①两底平行，两腰相等；②同一底上的两个角相等，同一腰上两个角互补；③两条对角线相等；④是轴对称图形．
③判定：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形．
（3）直角梯形：一腰垂直于底边的梯形叫做直角梯形．
（4）梯形中位线
①定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
②性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（5）梯形的面积公式
设梯形面积为S，上底为a，下底为b，高为h，中位线为l，则S＝ ．
7．中心对称和中心对称图形
（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称．把一个图形绕着它的某一个点旋转180°，如果旋转后内图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
（2）性质：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）中心对称的判定：如果两个图形对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一中心对称．
（4）注意问题：①中心对称和中心对称图形的联系和区别；②中心对称与轴对称的联系与区别．
典型例题
例1、已知：如图，在 ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2AD，求证：BD＝ ．
分析：本例是平行四边形的判定、性质的综合运用，解答时应结合勾股定理．
说明：直接运用平行四边形的判定和性质去解决某些问题，在具体问题中注意与其他知识的综合应用．
例2、如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
分析：由∠B＝60°，如连接AC，得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，则△AEF为等边三角形．再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．
证明：连接AC，因为四边形ABCD为菱形，所以∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，所以△ABC与△CDA为等边三角形，所以AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°．
因为∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，所以△ABE≌△ACF，
所以AE＝AF．又因为∠EAF＝60°，所以△EAF为等边三角形，所以∠AEF＝60°．
因为∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF，所以60°＋18°＝60°＋∠CEF，所以∠CEF＝18°．
例3、如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A，C两点作 ，作BM⊥ 于M，DN⊥于N，直线MB，ND分别交 于Q，P．求证：四边形PQMN是正方形．
分析：本例是正方形性质与判定的综合应用，先证四边形是矩形，再证一组邻边相等．在证明过程中，充分使用ABCD是正方形这一已知条件．
证明 因为PN⊥，QM⊥，
所以 PN∥QM，∠PNM＝90°．
因为 PQ∥MN，所以四边形PQNM是矩形．因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，所以∠NAD＋∠BAM＝90°，而∠NAD＋∠NDA＝90°，所以∠BAM＝∠NDA，所以Rt△ABM≌Rt△DAN，所以AM＝DN．同理可证AN＝DP，所以AM＋AN＝DN＋DP，即MN＝PN，所以四边形PQMN是正方形．
例4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，且作AE＝AC，又CF∥AE，求证：∠BCF＝ ∠AEB．
分析：按常规思路将∠AEB取半，或将∠BCF加倍，由于图形的“不规则”不利于达到目的．由AEFC为菱形，∠ACB＝45°．若结论成立，则∠ACF＝∠AEF＝30°．不妨利用正方形和菱形的特性通过计算试一试．
说明：对稍复杂的几何图形要认真分析，突破“常规”，灵活运用各图形之间的关系发现证明思路．
例5、已知，如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝DC．求证AC＝CE．
分析：本例可用梯形的特征，采用多种方法来证明．从另一个方面也将梯形几种常用的作辅助线的方法显现出来．
证法一 由ABCD是等腰梯形，所以∠ADC＝∠BCD．又DC∥AB，所以∠DCB＝∠CBE．在△ADC与△CBE中，AD＝BC，∠ADC＝∠CBE，DC＝BE，于是△ADC≌△CBE，故AC＝CE．
证法二 如图（a），连接BD，由DC∥BE，DC＝BE可知四边形DCEB为平行四边形，所以DB＝CE．又ABCD是等腰梯形，所以 AC＝BD，故AC＝EC．
证法三 如图（b），作CF⊥AE于F，DM⊥AE于M．在△AMD与△BFC中，∠DAM＝∠CBF，AD＝BC，∠DMA＝∠CFB＝90°，所以△ADM≌△BCF，AM＝BF．又DC∥AB，DM∥CF，故DC＝FM．又由DC＝BF，可得AM＋MF＝BF＋BE，所以F为AE的中点，CF为AE的垂直平行线，所以AC＝EC．
证法四（c）如图，连接BD．由DC∥AB，DC＝BE，知四边形BECD为平行四边形，所以∠2＝∠3．又ABCD是等腰梯形，所以AC＝BD．又由AD＝BC，AB＝AB，可知△ABC≌△BAD，所以∠1＝∠2，∠1＝∠3，AC＝CE．
说明：本例分别从不同的角度证明了同一个结论，要注意体会各种证法．
例6、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长．
分析：由等腰梯形知 AC＝BD．又AC⊥BD，AD＋BC＝10，如过D作DF∥CA，交BC的延长线于F，则△BDF为等腰直角三角形，所以BF＝BC＋AD＝2DE．
解 过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以 AC＝DF，AD＝CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC＝DB，BD＝FD．因为DE⊥BC，所以BE＝EF＝ ．因为AC∥DF，BD⊥AC，所以BD⊥DF．
因为BE＝EF，所以DE＝BE＝EF＝ ．
说明：当对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造成平行四边形、等腰三角形或直角三角形．
例7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线相交于E，AB⊥AC，且AB＝AC，BD＝BC．求证：CD＝CE．
分析：因为△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°．由BD＝BC知∠BCD＝∠CDB．若CD＝CE，则∠CED＝∠CDE＝∠BCD．设∠ECD＝α，∠CED＝∠CDE＝45°＋α，在△CED中依三角形内角和有α＋2（45°＋α）＝180°，知α＝30°，应有∠CBD＝30°．
证明 过A，D分别作BC的垂线，垂足分别为F，G．
因为 AD∥BC，所以AF＝DG．
又因为 AB＝AC，BD＝BC且AB⊥AC，
所以 ∠ACB＝45°， DG＝AF＝ ，
所以 ∠DBC＝30°，∠BCD＝∠CDE＝75°，
则∠DCE＝75°－45°＝30°，∠CED＝75°，所以CD＝CE．
说明：本例通过计算角度的大小来判断角的相等，这也是一种证明方法．
习题精选
1．（2003·黄冈）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的是（ ） （注：此题为多项选择题）
A．∠BAE＝30° B． ＝AB·CF C．CF＝ CD
D．△ABE∽△AEF
2．（2004·烟台）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18cm的多边三角形，则该梯形的中位线的长是（ ）
A．9cm B．12cm C． cm D．18cm
3．（2003·南宁）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4．（2003·贵阳）将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ）
A．1种 B．2种
C．4种 D．无数种
5．（2004·杭州）如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（ ）
A． B． C．5 D．
6．（2004·重庆）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
二、填空题
1．（“祖冲之杯”邀请赛试题）如图，矩形AB－CD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝___________．
2．（浙江省竞赛题）如图，P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝___________．
3．（2003·武汉）已知：梯形的上、下底分别为1和4，两条对角线的长分别为3和4，则此梯形面积为___________．
4．（2003·陕西）在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是___________．
三、解答题
1．（2003·南京）如图，△ABC，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形．
证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF．
（2）∵∠AED＝∠AFD＝∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF．
∴四边形AEDF是正方形．
2．（2003·广东）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝DC，BD⊥DC，求∠C的度数．
解：设∠CBD＝x．
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．
又∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB．
∴∠ABC＝2∠CBD＝2x．
又∵AB＝DC，∴∠C＝∠ABC＝2x．
∵BD⊥DC，
∴∠CBD＋∠C＝90°．
即x＋2x＝90°．解得x＝30°．
∴∠C＝60°．
3．（2003·泰州）如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，
（1）若AB＝4，BC＝8，求DF的长．
（2）若DA平分∠EDB，求 的值
解：（1）由题意可得∠EBD＝∠DBC．
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．∴∠FDB＝∠FBD．
∴FD＝FB．
设FD＝FB＝x，∴AF＝8－x．
则在Rt△ABF中， ，
得x＝5．∴DF＝5．
（2）∵∠EDA＝∠FDB，又∠FDB＝∠FBD，
∴∠EDA＝∠FDB＝∠FBD＝30°．
∴ ．
4．（2003·厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
（1）求证：四边形AEBD是矩形．
（2）若 ＝3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于H，且 ＝3．
求证：△AHG是等腰三角形．
证明：（1）∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，∴∠ABD＋∠ABE＝ ＝90°．
即∠EBD＝90°．
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）如图，连结ED交AB于O，
∵ ， ，∴ ．
即 ．∴FG∥ED．
∴∠ADO＝∠AGH．
∵四边形AEBD是矩形，
∴AB＝DE，O是AB、DE的中点．
∴OD＝OA．∴∠ADO＝∠DAO．
∴∠AGH＝∠ADO＝∠DAO．
∴AH＝GH．∴△AGH是等腰三角形．
5．（2004·南京）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C．
（1）当AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由．
（2）设AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么当a，b，c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？
（1）如果存在点P，使AP⊥PD，那么∠APD＝90°．
∴∠APB＋∠CPD＝90°．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°
∴OD＝OA．∴∠ADO＝∠DAO．
∴∠AGH＝∠ADO＝∠DAO．
∴AH＝GH．∴△AGH是等腰三角形．
5．（1）如果存在点P，使AP⊥PD，那么∠APD＝90°．
∴∠APB＋∠CPD＝90°．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°．
∴∠APB＋∠BAP＝90°．∴∠BAP＝∠CPD．
∴△APB∽△PDC，∴ ．
设BP＝x，则PC＝4－x．
∴ ，∴ ．
∴在线段BC上存在点P，使AB⊥PD，此时，BP＝2．
（2）如果在直线BC上存在点P，使AP⊥PD，那么点P在以AD为直径的圆上，且圆的半径为 ．如图，取AD的中点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∵∠B＝∠OEC＝∠C＝90°，
∴AB∥OE∥DC．
∵AO＝DO，∴BE＝CE．
∴OE＝ ．
（1）当OE＜c，即a＋b＜c时，以AD为直径的圆与直线BC相交．
此时，存在⊙O和直线BC的交点 ， ，使 ， ．
（2）当OE＝c，即a＋b＝c时，以AD为直径的圆与直线BC相切．
此时，存在切点P，使AP⊥PD．
（3）当OE＞c，即a＋b＞c时，以AD为直径的圆与直线BC相离．
此时，在直线BC上不存在点P，使AP⊥PD．综上，当a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．
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