知识导学

①定义：在四条线段a，b，c，d中，如果a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，简称为比例线段；

②比例中项：如果线段a，b，c存在a∶b＝b∶c，线段b叫做线段a，c的比例中项．

①基本性质：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc（两个内项之积等于两个外项之积）；

把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；

③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；

④如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

在求锐角三角函数值时，应根据三角函数定义转化成求线段比的问题，为简化运算常用“设k法”；当该角不容易求时，可以利用相似三角形（或全等三角形）转化成它的等角，通过求等角的三角函数值来完成．

直角三角形中边角关系较多，这些关系是我们解直角三角形的工具．在应用时选择哪种关系是解直角三角形的关键．在内容上不是单纯解直角三角形，而是尽量地把解直角三角形与方程、函数、梯形及非直角三角形综合命题，

解题的基本方法就是作一条合适的垂线（或高线），把它们分割出含直角三角形的图形，称为“分割法”或“补形法”，然后利用几何知识将其转化为解直角三角形问题．

解直角三角形知识与实际生活联系密切，要善于把实际问题转化为数学问题，注意数形结合，根据题意画出示意图，特别是画出由实际问题转化而来的数学问题的图形，对迅速、正确地解决问题至关重要．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也称轴对称．

两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的一个图形，而轴对称是说两图形之间的位置关系．

两者的联系是：若把轴对称的两图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．因此，它们是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地相互转化的．

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线；

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

另外，如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．

在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的单位距离，这样的图形运动称为平移．

图形经过平移后，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．

在平面内，将一个图形绕一个定点眼某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．

图形经过旋转后，对应点的旋转角度都相等，方向都相同，对应点到旋转中心的距离相等，且对应线段相等，对应角相等．

例1 （2003·山东菏泽）AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB边上，设其落点为P．

（2）如图，当点P不是AB的中点时，结论

是否仍然成立？若成立，请给出证明．

（2）解：当点P不是边AB的中点时，仍然成立．

证明：连结CP，则MN⊥CP．过P作PD⊥AC于D点．

∴∠ACB＝∠ADP＝90°，∴PD∥BC，∴．又∵AC＝BC．∴∠A＝∠B＝45°．

∴∠APD＝∠A＝45°，∴AD＝DP．

∵∠MCN＝90°，CP⊥MN，∴∠DCP＝∠MNC．

∴△MCN∽△PDC，∴，∴．

说明：利用“三点定形法”证比例式（或等积式）受阻时，一般需先对比例式进行转化，然后再利用“三点定形法”证之．常见的转化方式有：①寻找中间比转化；②利用等长线段转化；③等积转化．本题（2）问中用到了①、②两种转化方式．

例2 （2004·天津）如图，已知等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，则

的值等于（）

解析：这是一个特殊的几何图形，命题者利用这一图形不仅考查学生对等腰三角形性质的理解程度，更主要的是考查相似三角形的判定、性质，一元二次方程的解法以及黄金分割定义的灵活运用情况．因此，解答这类题，应通过两角对应相等来确定△ABC∽△BCD，从而，再加上△ABC，△BCD，△ABD均为等腰三角形，知BC＝BD＝AD，从而有＝AC·DC，＝AC（AC－AD），即＋AC·AD－＝0，解之得AD＝，∵线段AD的长大于零，∴取AD＝，这时，故应选B．

例3 （2003·镇江）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD的值为（）

例4 （2004·湖北荆门）将一副三角尺（如图），摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的余切值．

解：过点A作DB的延长线的垂线AE，垂足为E．

在等腰Rt△BDC中，∠1＝45°，设BD＝DC＝1，则BC＝．

在Rt△ABC中，∠4＝30°，则AB＝BC·tan30°＝．

在Rt△AEB中，∠2＝180°－（∠1＋∠3）＝180°－（90°＋45°）＝45°．

易求AE＝BE＝，DE＝．

则cot∠ADB＝．

例5 （2003·辽宁）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：

②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示．测倾器高度不计）．

（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）．

解：（1）如图（测三个数据）．

（2）设HG＝x，

在Rt△CHG中，．

在Rt△DHM中，．

∴．

∴x＝．

例6 如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定B、C、D的对应点的位置，以及旋转后的四边形．

解：（1）连结OA、OB、OC、OD、OA′．

（2）如图，分别以OB、OC、OD为一边作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，使得∠BOB′=∠COC′=∠DOD′=∠AOA′．

（3）分别在射线OB′、OC′、OD′上截取OB′=OB，OC′=OC，OD′=OD．

（4）连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′．

四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形．

2．（2003·黄冈）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的是（）

3．（2004·北京东城）若关于x的方程

＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角α为（）

4．（2003·黄冈）在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则6cosB等于（）

5．（2004·北京崇文）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，设∠ACE＝α，则tanα的值为（）

6．（2005·山东滨州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，点D是BC的中点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°得△AB′D′，那么AD在平面上扫过的区域（图中阴影部分）的面积是（）

1．（2003·南宁）已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比是2∶3，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为_____________．

2．（2003·苏州）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD∶AB＝1∶2，则

＝__________．

3．（2003·北京海淀）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．若tan∠AEH＝

，四边形EFGH的周长为40 cm，则矩形ABCD的面积为_______

．

4．（2003·济南）为了方便看电视和有利于彩电在放映中产生热量的散发，将一台54寸的大背投彩电放置在墙角．图是它的俯视图．已知∠DAO＝22°，彩电后背AD＝110 cm，平行于前沿BC．且与BC的距离为60 cm，则墙角O到前沿BC的距离是__________cm．

5．（2004·山西曲沃）如图，当半径为30 cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为_____________cm．

6．（2004·福建龙岩）如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点．直线MN经过点O交AD于M，交BC于N．

操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕点O旋转 _度后（填入一个你认为是正确答案的序号：①90；②180；③270；④360），恰与直角梯形NMAB完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得到的图形可能是下图中的 _（填写正确图形的代号）．

1．（2005·青海）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，F、H分别是AB、CD的中点，FH分别交BD、AC于G、M，BD＝6，ED＝2，BC＝10．

解：（1）∵F、H为AB、CD的中点，

∴AD∥FH∥BC，

∴△AED∽△CEB，

∴，

∴，∴AD＝5．

又∵△AED∽△MEG，∴，

∴，∴MG＝（或2.5）．

（2）∵等腰梯形ABCD中，F、H分别是AB、CD的中点，如图．

∴BF＝CH，∠BAD＝∠CDA，FH∥AD．

∴∠1＝∠2．∴FG＝HM＝AD．

∴△BFG≌△CHM．

2．（2004·江西）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB＝

，BC＝1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．

（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．

　　解：（1）∵△ABC≌△DCE≌△FEG，

∴BC＝CE＝EG＝BG＝1，即BG＝3．

∴FG＝AB＝，∴．

又∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG．

∵△FEG是等腰三角形，∴△BFG是等腰三角形．∴BF＝BG＝3．

（2）求证：BP＝PR．

证明：∵AC∥DE．又∵ BC＝CE，∴ BP＝PR．

③求AP∶PC的值．

解：∵AC∥FG，∴，

∴PC＝，而AC＝，∴AP＝．

∴AP∶PC＝2．

　　3．（2005·山东）如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20米，斜坡坡面上的影长CD＝8米，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度（精确到1米）．

　　解：如图，延长AD交BC延长线于E点，则∠AEB＝26°．

作DQ⊥BC交BC延长线于Q．

在Rt△DCQ中，∠DCQ＝30°，DC＝8，

∴DQ＝4，QC＝8cos30°＝．

在Rt△DEQ中，

QE＝．

∴BE＝BC＋CQ＋QE≈35.1．

在Rt△ABE中，

AB＝BEtan 26°≈17（米）．

答：旗杆的高度约为17米．

4．（2004·青岛）把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）．